Ciao a tutti. Ho un problema che potrebbe non avere una soluzione:
a*n1+b*n2+c*n3+...+m*n(n) = x*(x+1) ;
con a,b,c...m-esimo e n1,n2,n3...n-esimo,x, numeri naturali non nulli tali che sia verificata l'uguaglianza.
Noto: a+b+c+...+m= 2x-1 come posso trovare n1+n2+n3+...+n(n) ?
E se n1+n2+n3+...+n(n) fosse una sommatoria particolare come per esempio dei primi n°-esimi numeri dispari, e i coeficienti (a,b,c..) numeri tali che si verifichi l'uguaglianza?Più in generale per una soluzione univoca che condizioni devo porre e come trovo la soluzione?
Scusate se nn è un problema molto definito ma sono curioso di sapere se esiste una soluzione univoca magari di qualche caso particolare, possibilmente se i coefficienti nn seguano una legge matematica(alcuni potrebbero essere uguali ..) e n1,n2,n3…invece sì .
Problema forse non risolvibile
Problema forse non risolvibile
Roberto
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Nonno Bassotto
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provo a riformularlo io..correggetemi se sbaglio
dati due n-uple di interi positivi non nulli $ a_i $ e $ b_i $ allora abbiamo per ipotesi che esiste m in N tale che $ \sum_{i=1}^{n}{a_i b_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} j $ e inoltre vale $ \sum_{i=1}^{n}{a_i}=2m+1 $ .
cosa si puo dire circa $ \sum_{i=1}^{n}{b_i} $ ?
giusto robertos?
dati due n-uple di interi positivi non nulli $ a_i $ e $ b_i $ allora abbiamo per ipotesi che esiste m in N tale che $ \sum_{i=1}^{n}{a_i b_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} j $ e inoltre vale $ \sum_{i=1}^{n}{a_i}=2m+1 $ .
cosa si puo dire circa $ \sum_{i=1}^{n}{b_i} $ ?
giusto robertos?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
mmm..non pretendo di rispondere in modo esauriente, ma considera questo fatto:
per ogni m in N della forma 4k +2 per il teorema di bezout esistono e sono unici due interi $ a $ e $ b $ in N-{0} per le ipotesi date tale che:
$ m(m+1)=2m * a + 1*b $.
almeno per questa famiglia di casi può valere $ a_1=2m $ e $ a_2=1 $, rispettando cosi tutte le ipotesi. in questo caso vale $ \sum_{i=1}^{2}{b_i}= a+b < a+m $.
potevamo in ogni caso caso considerare pero che $ m(m+1)=m * a + m*a + 1*b $, con $ a_1=a_2=m $ e $ a_3=1 $, quindi $ \sum_{i=1}^{3}{b_i}= 2a+b $.
o ancora diversamente per ogni m in N vale $ a_1=a_2=.....=a_{m+1}=1 $ e $ b_1=b_2=...=b_{m+1}=m $ che da $ \sum_{i=1}^{m+1}{m}=m(m+1) $, caso limite di somma massima.
con questo non voglio dire che il problema non sia risolvibile, ma solo che possiamo dare solo opportune limitazioni sul valore di $ \sum_{i=1}^{n}{b_i} $
a questo punto un buon quesito sarebbe: chi riesce a trovare il buond minimo?
per ogni m in N della forma 4k +2 per il teorema di bezout esistono e sono unici due interi $ a $ e $ b $ in N-{0} per le ipotesi date tale che:
$ m(m+1)=2m * a + 1*b $.
almeno per questa famiglia di casi può valere $ a_1=2m $ e $ a_2=1 $, rispettando cosi tutte le ipotesi. in questo caso vale $ \sum_{i=1}^{2}{b_i}= a+b < a+m $.
potevamo in ogni caso caso considerare pero che $ m(m+1)=m * a + m*a + 1*b $, con $ a_1=a_2=m $ e $ a_3=1 $, quindi $ \sum_{i=1}^{3}{b_i}= 2a+b $.
o ancora diversamente per ogni m in N vale $ a_1=a_2=.....=a_{m+1}=1 $ e $ b_1=b_2=...=b_{m+1}=m $ che da $ \sum_{i=1}^{m+1}{m}=m(m+1) $, caso limite di somma massima.
con questo non voglio dire che il problema non sia risolvibile, ma solo che possiamo dare solo opportune limitazioni sul valore di $ \sum_{i=1}^{n}{b_i} $
a questo punto un buon quesito sarebbe: chi riesce a trovare il buond minimo?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
visto ke mi ci trovo cerco di risolverlo da solo, senza aiutini 
allora il buond minimo è un intero positivo non nullo.
CASO I minimo=1
significa che esiste a in N tale che per un qualche m in N vale $ m(m+1)=a(2m+1) $ cioè $ 2m+1| m(m+1) $.
ma notiamo che $ (2m+1, m^2+m) = (2m+1,2(m^2+m)-m(2m+1)) $ = $ (2m+1, m) = 1 $, assurdo.
CASO II minimo=2
significa che esistono a e b in N tali che per unqualche m in N vale $ m(m+1)=a*1 + b*1 $ con $ a+b=2m+1 $.
ma per quanto detto $ a+b=2m+1=m(m+1) $ cioè $ m^2=m+1 $, assurdo in N.
CASO III minimo=3
esistono a, b, c in N tali che per un qualche m in N vale $ m(m+1)=a*1+b*1+c*1 $ con $ a+b+c=2m+1 $ oppure esistono a e b in N tali che $ m(m+1)=a*2+b*1 $ con $ a+b=2m+1 $.
il primo caso, analogamente al caso II, è da scartare.
il secondo invece porta al sistema $ a+b=2m+1 $ e $ 2a+b=m^2+m $.
per differenza $ a=m^2-m-1 $ e $ b=3m+2-m^2 $.
ricordando che a e b sono interi non nulli arriviamo (ad esempio disegnando il tutto nel piano cartesiano) a due sole soluzioni accettabili, cioè $ (a, b, m) = (1, 4, 2) $ oppure $ (5, 2, 3) $.
CONCLUSIONE
per ogni scelta di $ a_i $ e $ b_i $ vale la seguente disuguaglianza:
$ 3 \le \sum_{i=1}^{n}{b_i} \le m(m+1) $
allora il buond minimo è un intero positivo non nullo.
CASO I minimo=1
significa che esiste a in N tale che per un qualche m in N vale $ m(m+1)=a(2m+1) $ cioè $ 2m+1| m(m+1) $.
ma notiamo che $ (2m+1, m^2+m) = (2m+1,2(m^2+m)-m(2m+1)) $ = $ (2m+1, m) = 1 $, assurdo.
CASO II minimo=2
significa che esistono a e b in N tali che per unqualche m in N vale $ m(m+1)=a*1 + b*1 $ con $ a+b=2m+1 $.
ma per quanto detto $ a+b=2m+1=m(m+1) $ cioè $ m^2=m+1 $, assurdo in N.
CASO III minimo=3
esistono a, b, c in N tali che per un qualche m in N vale $ m(m+1)=a*1+b*1+c*1 $ con $ a+b+c=2m+1 $ oppure esistono a e b in N tali che $ m(m+1)=a*2+b*1 $ con $ a+b=2m+1 $.
il primo caso, analogamente al caso II, è da scartare.
il secondo invece porta al sistema $ a+b=2m+1 $ e $ 2a+b=m^2+m $.
per differenza $ a=m^2-m-1 $ e $ b=3m+2-m^2 $.
ricordando che a e b sono interi non nulli arriviamo (ad esempio disegnando il tutto nel piano cartesiano) a due sole soluzioni accettabili, cioè $ (a, b, m) = (1, 4, 2) $ oppure $ (5, 2, 3) $.
CONCLUSIONE
per ogni scelta di $ a_i $ e $ b_i $ vale la seguente disuguaglianza:
$ 3 \le \sum_{i=1}^{n}{b_i} \le m(m+1) $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
,se volessi approfondire l'argomento, sempre in maniera elementare, cosa mi suggeriresti di leggere?