Ex 1.
Se lascia fisso $ ~ x_1 $, gli altri elementi li lascia fissi o li scambia. Quindi H = $ [tex] $~ \{e,a\} = {l'identità, lo scambio di $ ~ x_2,x_3 $. H stesso è un suo laterale destro e sinistro. Avremo altri due destri e altri due sinistri:
destri -> {b = lo scambio $ ~ x_1,x_2 $, ab = il ciclo 1->2->3->},
{c = lo scambio $ ~ x_1,x_3 $, ac = il ciclo 3->2->1}
sinistri -> {b, ba = il ciclo 3->2->1}, {c,ca = il ciclo 1->2->3}
Ex 2.
Questo è interessante: dice che se H è un sottogruppo non normale di G, allora non solo per un certo a avremo $ ~ aH \neq Ha $, ma anche due a,b ci daranno lo stesso laterale destro e diversi laterali sinistri.
Riscriviamo l'ipotesi come: $ ~ aH = bH \Rightarrow Ha = Hb $. Ricordiamo che $ ~ aH = bH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H $ e che $ ~ Ha = Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H $. Quindi: $ ~ b^{-1}a \in H \Rightarrow ab^{-1} \in G $. Poichè $ ~ b = (b^{-1})^{-1} $, si riscrive più facilmente come:
$ ~ ab \in H \Rightarrow ba \in H $.
Sia $ ~ g \in G, h \in H $. Allora $ ~ (hg^{-1})g \in H $, quindi $ ~ g(hg^{-1}) \in H $, come da dimostrare.