SERIE

[perrymason]

Studiare il comportamentop della serie al variare di X nei reali.

$ \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-3n} n^{2n}}{(n!)^x} $


Per risolverla ho provato con il criterio del rapporto ma non mi riesce.
grazie a chiunque si cimenti.

[luluemicia]

Ciao, se x è negativo la serie diverge in quanto il suo termine generale tende ad infinito; se x è non negativo la serie converge perchè il termine generale risulta infinitesimo "con passo almeno dell'esponenziale".

[luluemicia]

Ciao,
scusa ma ho letto male la traccia: ho letto il numero di Nepero e al posto di n nella base del secondo fattore al numeratore. Allora la serie è meno immediata di come l'avevo letta io. Tuttavia mi pare che il criterio del rapporto consente di pervenire al risultato: diverge se x è inferiore a 2, converge altrimenti.
In tarda serata dovrei riuscire a ricollegarmi, se mi posti il tuo procedimento ti faccio sapere le eventuali discordanze rispetto al mio.

[perrymason]

All'ultimo passaggio il limite del rapporto per N--> infinito si riduce a:

E (N+1)^(1-x) 1^2n e quindi a me viene che la serie converge per x>1

Per ottenere tale espressione ho sfruttato la scomposizione del termine fattoriale:

[(n+1)!]^x = [(n+1)]^x [(n!)]^x (della quale non sono molto sicuro)

la scomposizione del termine esponenziale e la:

(n+1)^2n+1 = (n+1)^2n (n+1)

Mi scuso per il pessimo codice , che dovrebbe comunque risultare comprensibile, e ti ringrazio anticipatamente per l'aiuto.

[SkZ]

sistema poco "pulito" e' usare l'approssimazione di Stirling $ $n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $ $

e ottieni che il termine diventa
$ $e^{n(x-3)}n^{n(2-x)}n^{-x/2}$ $

[luluemicia]

Ciao perrymason,
mi sarei voluto collegare prima ma non mi è stato possibile. Comunque, se ti è ancora utile, posso dirti che:
puoi essere sicuro dell'uguaglianza che usi sui fattoriali;
se usi Stirling come ti suggerisce SkZ ti dovresti trovare il mio risultato;
posso supporre che un errore che fai quando calcoli il rapporto è che dai a (n+1) esponente 2n+1 invece di 2(n+1);
posso supporre che un altro errore è che fai a (1+1/n)^(2n) il limite solo alla base senza toccare l'esponente;
posso supporre che sempre nel rapporto anche al numero di Nepero e sbagli esponente dandogli -3n+1 invece di -3(n+1).
Senza altre indicazioni, purtroppo non posso dirti più di questo.

[luluemicia]

Ciao SkZ,
usare la sostituzione di Stirling che tu proponi non è poco pulito, è pienamente rigoroso. Forse il problema consiste nel fatto che non tutti fanno l'approssimazione di Stirling; ma se la si è fatta, è senz'altro, oltre che più veloce, più pregevole il tuo procedimento rispetto all'uso del criterio del rapporto.
PS: complimenti per la foto, che gatto bellissimo.