Ex 1.
Il mio primo passaggio è lo stesso tuo:
$ ~ ababab=(ab)^3 = a^3b^3 \Rightarrow (ba)^2 = a^2b^2 $
Poi:
$ ~ (ab)^4 = ((ab)^2)^2 = (b^2a^2)^2 = a^4b^4 $
$ ~ (ab)^4 = (ab)^3ab = a^3b^3ab $
Quindi:
$ ~ a^4b^4 = a^3b^3ab $
Cancellando un po':
$ ~ ab^3 = b^3 a $.
Consideriamo la funzione $ ~ f(x) = x^3 $. Se $ ~ f(a)=f(b) $ allora $ ~ a^3 = b^3 $ quindi $ ~ a^3(b^{-1})^3 = e $ quindi $ ~ (ab^{-1})^3 = e $. L'ordine di $ ~ ab^{-1} $ è 1 o 3, ma non è 3 (perchè divide l'ordine del gruppo), quindi $ ~ ab^{-1} = e $ ed $ ~ a=b $. Quindi f è iniettiva, e manda un insieme finito in sè. Quindi è biiettiva, e ogni x si scrive come $ ~ f(y) $ per qualche y.
Quindi, per ogni a,b, esiste c tale che $ ~ c^3 = b $ quindi:
$ ~ ab = ac^3 = c^3a = ba $.
G è abeliano.