Speranza matematica(calcolo combinatorio)

[angus89]

Salve,
Ho un grandissimo dubbio, anzi direi piuttosto che non ho capito una cosa...
Ecco...

Parlando di probabilità e di variabili casuali...

Inanzitutto definiamo una variabile casuale così vediamo se ho capito bene...
La variabile casuale è una sorta di funzione che permette di attribuire ad ogni esito di un esperimento
un numero reale...
Indicando con S tutti i possibili esiti(ovvero uno spazio campionario finito equiprobabile)
la variabile casuale attribuisce una valore reale a tutti gli esiti
$ \begin{displaymath} X(S)={x_1,x_2,...,x_n} \end{displaymath} $

spero sia corretto...

Poi ecco il mio grande dubbio

LA SPERANZA MATEMATICA

La speranza matematica è definita (a parole) come l'esito più probabile dell'esperimento, o comunque sia l'esito più aspettato

Detta a formule la speranza matematica si trova con la seguente formula

$ \begin{displaymath} E(X)=\sum_{i=0}^n \ x_i \cdot f(x_i) \end{displaymath} $
Benissimo...
Io non riesco a capire perchè...
Per quale motivo il risultato di tale espressione deve darmi l'esito più probabile...
Se un concetto non riesco a capirlo mi blocco del tutto.
Non è una cosa intuitiva(almeno per me)

Ora faccio un controesempio(potete anche non leggerlo ma se non avete capito il mio problema qui lo spiego per bene)
Se lanciamo una coppia di dadi sappiamo che i possibili esiti sono 36
Tramite la variabile casuale facciamo attribuire al ogni lancio dei dadi il numero più alto.
Ad esempio se esce (2,5) l'esito sarà 5
Quindi
$ \begin{displaymath} X(a,b)=max(a,b) \end{displaymath} $
applicando a tutto lo spazio campionario
$ \begin{displaymath} X(S)={1,2,3,4,5,6} \end{displaymath} $
A questo punto vogliamo trovare l'esito più probabile o in altri termini la speranza matematica.
Inanzitutto prima di utilizzare formule limitiamoci a vedere quante probabilità ci sono che ci sia l'esito 1,2,3,4,5 o 6.
$ \begin{displaymath} P(1)=1/36 \\ P(2)=3/36 \\ P(3)=5/36 \\ P(4)=7/36 \\ P(5)=9/36 \\ P(6)=11/36 \\ \end{displaymath} $
A me sembra logico che sia più probabile che si presenti 6 come numero più grande...
Anche se...

Comunque fatto sta che se applichiamo la definizione di speranza matematica giungiamo ad affermare che
$ \begin{displaymath} E(X)=4.47 \end{displaymath} $ è l'esito più probabile, o comunquesia il valore atteso
Per quale motivo???
Chi mi aiuta a capire che è da stamattina che sto impazzendo!!!
Help

Ringrazio in anticipo tutti gli utenti che mi risponderanno

[EUCLA]

Premetto che ho letto ora questa roba di speranze, non sapevo che i matematici si affidassero alla speranza . Dico la mia: già nel determinare la probabilità sai qual'è più probabile che si avveri, se anche la speranza determinasse quello che è più probabile che si avveri i matematici sarebbero cosi stupidi da aver definito un concetto nuovo a caso?
(Spero d'essermi spiegata )


Ah, aggiungo: ho trovato questa pagina http://ishtar.df.unibo.it/stat/avan/gloss/probdef.html

dove dice: Con il termine valore atteso o speranza matematica di una variabile aleatoria si è soliti indicare la somma dei prodotti di tutti i possibili valori della variabile per la probabilità di questi ultimi. Il valore atteso è legato al valor medio della variabile, in quanto, per un gran numero di prove la media dei valori osservati di una variabile aleatoria tende (converge) alla sua speranza matematica.

[hydro]

Salve,
Ho un grandissimo dubbio, anzi direi piuttosto che non ho capito una cosa...
Ecco...

Parlando di probabilità e di variabili casuali...

Inanzitutto definiamo una variabile casuale così vediamo se ho capito bene...
La variabile casuale è una sorta di funzione che permette di attribuire ad ogni esito di un esperimento
un numero reale...
Indicando con S tutti i possibili esiti(ovvero uno spazio campionario finito equiprobabile)
la variabile casuale attribuisce una valore reale a tutti gli esiti
$ \begin{displaymath} X(S)={x_1,x_2,...,x_n} \end{displaymath} $

spero sia corretto...

Diciamo che non è un granchè precisa (nè chiara) come definizione. Formalmente, una variabile casuale è una funzione misurabile tra uno spazio di probabilità $ (\Omega;F;P) $ e lo spazio euclideo dotato della sigma-algebra di Borel. Questo per evitare brutte faccende, tipo insiemi non misurabili in alcun modo (vedi insieme di Vitali). Detto questo, nel caso di uno spazio campionario ($ \Omega $) finito, puoi pensare senza problemi ad una variabile casuale come ad una funzione che assegna ad ogni elemento di $ \Omega $, che sono i possibili esiti dell'esperimento, un numero reale.

Poi ecco il mio grande dubbio

LA SPERANZA MATEMATICA

La speranza matematica è definita (a parole) come l'esito più probabile dell'esperimento, o comunque sia l'esito più aspettato

Detta a formule la speranza matematica si trova con la seguente formula

$ \begin{displaymath} E(X)=\sum_{i=0}^n \ x_i \cdot f(x_i) \end{displaymath} $
Benissimo...
Io non riesco a capire perchè...
Per quale motivo il risultato di tale espressione deve darmi l'esito più probabile...

No, questo è proprio sbagliato. Pensa al caso più semplice di tutti: il lancio di un dado. Costruisci una variabile casuale che assegna ad ogni possibile risultato del lancio del dado il numero ottenuto. E' chiaro che tutti i risultati sono equiprobabili: come potrebbe la speranza matematica, che è un unico numero reale, dirti qual è l'esito più probabile? Se applichi la definizione di speranza matematica (che hai scritto correttamente,almeno nel caso di una variabile casuale discreta) a questo esempietto che ti ho menzionato, otterrai come risultato 3,5 ovvero proprio la media aritmetica dei valori assunti dalla variabile casuale. Ebbene, la speranza matematica misura in qualche modo il "baricentro" dei possibili risultati, ovvero ne fa una specie di media pesata. Se pensi agli $ x_i $ come alle posizioni di n masse lungo l'asse reale, e alle $ f(x_i) $ come alle masse stesse, la media pesata delle posizioni di tali masse ti restituisce esattamente il baricentro del sistema, e l'espressione che usi per trovarlo è in quresto caso proprio la stessa della speranza matematica...

Ora faccio un controesempio(potete anche non leggerlo ma se non avete capito il mio problema qui lo spiego per bene)
Se lanciamo una coppia di dadi sappiamo che i possibili esiti sono 36
Tramite la variabile casuale facciamo attribuire al ogni lancio dei dadi il numero più alto.
Ad esempio se esce (2,5) l'esito sarà 5
Quindi
$ \begin{displaymath} X(a,b)=max(a,b) \end{displaymath} $
applicando a tutto lo spazio campionario
$ \begin{displaymath} X(S)={1,2,3,4,5,6} \end{displaymath} $
A questo punto vogliamo trovare l'esito più probabile o in altri termini la speranza matematica.
Inanzitutto prima di utilizzare formule limitiamoci a vedere quante probabilità ci sono che ci sia l'esito 1,2,3,4,5 o 6.
$ \begin{displaymath} P(1)=1/36 \\ P(2)=3/36 \\ P(3)=5/36 \\ P(4)=7/36 \\ P(5)=9/36 \\ P(6)=11/36 \\ \end{displaymath} $
A me sembra logico che sia più probabile che si presenti 6 come numero più grande...
Anche se...

Comunque fatto sta che se applichiamo la definizione di speranza matematica giungiamo ad affermare che
$ \begin{displaymath} E(X)=4.47 \end{displaymath} $ è l'esito più probabile, o comunquesia il valore atteso
Per quale motivo???

In questo tuo legittimo esempio, la speranza matematica è 4,47 perchè "le masse più grandi" sono "spostate verso il 6", per dirla in termini molto poco matematici.
Spero di averti chiarito un minimo le idee...

[EvaristeG]

Ecco, forse può aiutare tener conto che molta probabilità è stata sviluppata per trattare giochi, spesso d'azzardo, e più tardi processi economici.

Ora, facciamo un gioco, non importa quale sia, basta che sia casuale (lotto, testa e croce, lotteria, dadi, ...). Avremo alcuni eventi tra loro incompatibili (se ne può verificare uno, o un altro, ma non due contemporaneamente) a cui siamo interessati (i possibili esiti delle varie mani del gioco, ad esempio l'uscita di un determinato numero sul dado), che possiamo chiamare $ A_1, \ldots, A_n $.
Avremo allora una funzione X che ad ogni evento attribuisce una probabilità tra 0 e 1.
Ad ognuno di questi eventi si può associare il guadagno che a noi ne deriva (o, eventualmente la perdita). Così, ad esempio, potremo dire che se si verifica l'evento $ A_i $ noi avremo un guadagno $ g_i $ che sarà un numero reale con segno.
Allora, in media, quanto guadagnamo in una mano del gioco?
Beh, abbiamo $ X(A_i) $ di probabilità di guadagnare $ g_i $, quindi il guadagno medio sarà
$ X(A_1)g_1+\ldots+X(A_n)g_n $
Se ora noi siamo interessati solo ai nostri guadagni (come è bene), possiamo definire come nuovi eventi, $ g_1, \ldots, g_n $ (i numeri reali di cui prima!!) e definire una nuova variabile $ Y $ tale che $ Y(g_i)=X(A_i) $.
In questo modo, il guadagno atteso, la speranza matematica di guadagno, il valore atteso del nostro guadagno sarà proprio
$ \mathbb{E}[Y]=\sum Y(g_i)g_i=\sum X(A_i)g_i $.

Ad esempio, in un gioco in cui il mio guadagno è 0 con probabilità p e 1 con probabilità 1-p, io ho una speranza di guadagno di $ 1-p $ ad ogni mano. (ok, esempio cretino).

Se non ti fosse ancora chiaro, posso postare un altro esempio che non centra con i giochi, per cambiare ambientazione e per fare esempi meno banali senza dover andare ad elaborare giochi complicati.

[angus89]

Ora penso veramente di averci capito qualcosa...
Voglio ringraziare di cuore EvaristeG...
La speranza matematica mi ha fatto impazzire per 2 giorni...tant'è che oggi nell'ora di storia ho pensato di accettarla per fede...va bè dai non esageriamo...nel senso che avrei accettato la forumula senza spiegarmela...

Davvero grazie

Se ho capito bene la speranza matematica, o valore aspettato ti porta a stabilire ad esempio quanto deve essere il guadagno (o perdita) media in un gioco(o in un esperimento)...

Nel senso che se noi ripetiamo un esperimento un sacco di volte, alla fine la variabile casuale tenderà ad assumere il valore della speranza matematica o detto in altri termini tra tutti i risultati ottenuti da tutti gli esiti alla fine ci saranno più esiti che si avvicinano alla speranza matematica

Spero di avre capito ora...
Anche se rimane ancora il dubbio sulla questione posta da hydro...
Quella sul dado, dove ad ogni esito con la variabile casuale facciamo corrispondere il numero...
In quel senso la speranza matematica sembra inutile visto ke non è vero che dopo tanti tentativi gli esiti tenderanno a 3.5...

[EvaristeG]

La speranza matematica ti dice la media dei risultati su un gran numero di lanci, nel caso del dado.
Ovvio che, in un simile caso, ha poco senso il fatto stesso di fare la media dei risultati.
Mentre in altri casi è molto significativo: supponi di avere una variabile X che ti dice per ogni k qual è la probabilità che arrivino k persone al casello di un'autostrada in un'ora.
Ora, se aspettiamo N ore, avremo che in circa $ X(0)N $ ore sono arrivate 0 persone, in circa $ X(1)N $ ore è arrivata 1 persona e così via...in media, quante persone sono arrivate all'ora?
beh, per le $ X(0)N $ ore in cui non è arrivato nessuno, segnamo 0, per le $ X(1)N $ ore in cui è arrivata una persona segnamo 1 (e quindi segnamo in tutto $ 1X(1)N $ persone), e così via, quindi sommando otteniamo che in tutto sono passate
$ 0X(0)N+1X(1)N+2X(2)N+\ldots $
ovvero che ogni ora sono passate in media
$ \dfrac{0X(0)N+1X(1)N+2X(2)N+\ldots}{N}=X(0)0+X(1)1+X(2)2+\ldots $.
ma questa è proprio $ \mathbb{E}[X] $. E' il valore atteso del numero di persone in un'ora, ovvero quante persone in media passano dal casello in un'ora...

Per la cronaca, in un problema simile X di solito ha la seguente forma
$ X(k)=\lambda^k\dfrac{e^{-\lambda}}{k!} $
dove $ \lambda=\mathbb{E}[X] $ e si chiama variabile di Poisson.