quasi come wilson, ma c'è qualcosina di meno

[salva90]

Sia n un intero generico e sia S l'insieme degli interi x minori di n e tali che sia x che x+1 sono relativamente primi con n.
Provare che
$ \displaystyle \prod_{x\in S} x\equiv 1 \pmod n $

good luck
ps: se uno ha subito l'idea giusta è veramente veloce

[darkcrystal]

Beh, per qualunque primo p che divida n si ha che x non è congruo a -1 modulo quel primo lì. Ma allora nessun elemento di S (salvo 1) coincide con il proprio inverso (infatti perchè qualcosa coincida con il suo inverso, deve essere congrua a + o - 1 modulo ogni primo: ma gli elementi di S non possono essere congrui a -1 modulo uno qualunque dei primi, e l'unico che è congruo a 1 modulo tutti i primi è proprio 1), e l'inverso sta a sua volta in S... perciò gli elementi di S si cancellano a coppie e il loro prodotto fa 1.
Ciao!

[salva90]

Ok visto che darkcrystal l'ha già ucciso metto anche la mia soluzione, un tantino diversa in quanto non uso i primi

PASSO 1- nessun x che sta in S (a parte 1) inverte se stesso

da $ ~x^2\equiv1 $ si ottiene $ n|(x-1)(x+1) $ e poiche $ (n, x+1)=1 $ segue che $ n|(x-1) $ cioè x=1


PASSO 2- se x sta in S anche il suo inverso c'è

sia a l'inverso di x e b l'inverso di x+1 (entrami esistono per la coprimità con n). vale quindi $ ax\equiv bx+b \Rightarrow (a-b)x\equiv b $$ \Rightarrow (a-b)ax\equiv ab \Rightarrow n|a-b-ab $$ \Rightarrow n|(a+1)(1-b)-1 \Rightarrow (n, a+1)=1 $ quindi anche a sta in S


il fatto che non esistono due elementi che hanno lo stesso inverso lo do per ovvio, sennò sono uguali...
quindi gli elementi di S si invertono a due a due, resta 1 che ovviamente non altera il prodotto


EDIT: dimenticavo di dire che tutte le congruenze usate sono modulo n