Con l'intento dichiarato di far perdere tempo a ms88 e edriv, ecco un interessante problema.
Sia $ \ G $ un gruppo (non necessariamente finito) tale che, per ogni $ \ x,y\in G $ valgano:
$ \ x^6 y^6=(xy)^6 $
$ \ x^7 y^7=(xy)^7 $
$ \ x^{35} y^{35} =(xy)^{35} $
Dimostrate che $ \ G $ è abeliano.
Gruppi abeliani satanici
-
FrancescoVeneziano
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Gruppi abeliani satanici
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Se domani mi becca di storia (e mi beccherà) son finito (a differenza di G, probabilmente), speriamo che almeno la dimostazione sia giusta...
$ ~ x^7y^7 = (xy)^7=(xy)^6(xy) = x^6y^6xy $
semplificando:
$ ~ xy^6 = y^6x $
ovvero le seste potenze stanno nel centro.
$ ~ (xy)^5 = (xy)^6y^{-1}x^{-1} = x^6y^6y^{-1}x^{-1} = x^6y^5x^{-1} $
Usiamo sta formula per calcolare la trentacinquesima:
$ ~ x^{35}y^{35} = (xy)^{35} = ((xy)^7)^5 = (x^7y^7)^5 = x^{42}y^{35}x^{-7} $, da cui semplificando:
$ ~ y^{35}x^7 = x^7y^{35} $
ma sfruttando che $ ~ x^6 $ commuta:
$ ~ y^{35}x^7 = xx^6y^{35} = xy^{35}x^6 $
che semplificando diventa:
$ ~ y^{35}x = xy^{35} $
Ora, per ogni y, sappiamo che $ ~ y^6 $ sta nel centro, e $ ~ y^{35} $ sta nel centro, quindi (il centro è un sottogruppo) $ ~ y = (y^6)^6(y^{35})^{-1} $ sta nel centro.
Ogni elemento sta nel centro, quindi G è abeliano.
$ ~ x^7y^7 = (xy)^7=(xy)^6(xy) = x^6y^6xy $
semplificando:
$ ~ xy^6 = y^6x $
ovvero le seste potenze stanno nel centro.
$ ~ (xy)^5 = (xy)^6y^{-1}x^{-1} = x^6y^6y^{-1}x^{-1} = x^6y^5x^{-1} $
Usiamo sta formula per calcolare la trentacinquesima:
$ ~ x^{35}y^{35} = (xy)^{35} = ((xy)^7)^5 = (x^7y^7)^5 = x^{42}y^{35}x^{-7} $, da cui semplificando:
$ ~ y^{35}x^7 = x^7y^{35} $
ma sfruttando che $ ~ x^6 $ commuta:
$ ~ y^{35}x^7 = xx^6y^{35} = xy^{35}x^6 $
che semplificando diventa:
$ ~ y^{35}x = xy^{35} $
Ora, per ogni y, sappiamo che $ ~ y^6 $ sta nel centro, e $ ~ y^{35} $ sta nel centro, quindi (il centro è un sottogruppo) $ ~ y = (y^6)^6(y^{35})^{-1} $ sta nel centro.
Ogni elemento sta nel centro, quindi G è abeliano.
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FrancescoVeneziano
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Velocissimo Edriv.
Proviamo più in generale; sia $ \ A\subseteq \mathbb{Z} $ e $ \ G $ un gruppo tale che per ogni $ \ x,y\in G $ e ogni $ \ a\in A $ valga
$ \ x^a y^a =(xy)^a. $
Sia $ \ M $ il massimo comun divisore dei numeri $ \ \binom{a}{2} $ al variare di $ \ a\in A $.
Dimostrate che se $ \ M=1 $ $ \ G $ è abeliano e mostrate con un controesempio che se $ \ M $ non è 1 $ \ G $ potrebbe non essere abeliano.
P.S.
Sei stato interrogato?
Proviamo più in generale; sia $ \ A\subseteq \mathbb{Z} $ e $ \ G $ un gruppo tale che per ogni $ \ x,y\in G $ e ogni $ \ a\in A $ valga
$ \ x^a y^a =(xy)^a. $
Sia $ \ M $ il massimo comun divisore dei numeri $ \ \binom{a}{2} $ al variare di $ \ a\in A $.
Dimostrate che se $ \ M=1 $ $ \ G $ è abeliano e mostrate con un controesempio che se $ \ M $ non è 1 $ \ G $ potrebbe non essere abeliano.
P.S.
Sei stato interrogato?
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Certo che sono stato interrogato! Però ho preso 7 e mezzo 
(si vede che dopo un mese di interrogazioni qualcosa l'ho assorbito comunque)
Tornando al problema, che è molto interessante, se non che la tesi è già un hint alla strada da seguire...
Sia G un gruppo, e definiamo C come l'insieme delle coppie di interi $ ~ (a,b) $ tali che:
$ ~ x,y \in G \Rightarrow x^ay^b = y^bx^a $
Ora ci servono un po' di proprietà (tutte facili, chiaramente)
$ ~ (a,0) \in C $
$ ~ (a,b) \in C \Rightarrow (ka,jb) \in C $
$ ~ (a,b),(a,c) \in C \Rightarrow (a,kb+jc) \in C $
$ ~ (a,b) \in C \Rightarrow (b,a) \in C $
Dalla seconda proprietà segue anche che $ ~ (a,b),(a,c) \in C \Rightarrow (a,\mbox{gcd}(b,c)) \in C $
Ora, a partire dalle ipotesi, troviamo qualche elemento in C!
$ ~ (xy)^a = x^ay^a $, moltiplicando a destra per $ ~ x^{-1} $ e a sinistra per $ ~ y^{-1} $:
$ ~ (yx)^{a-1}=x^{a-1}y^{a-1} $
$ ~ (yx)^a = x^{a-1}y^{a-1}yx $
$ ~ y^ax^a = x^{a-1}y^{a-1}yx $
$ ~ y^ax^{a-1}=x^{a-1}y^a $
Quindi $ ~ (xy)^a = x^ay^a \Rightarrow (a,a-1) \in C $ (è sempre sottointeso "per tutti gli x,y").
Qual è l'idea del problema?
E' applicare saggiamente le proprietà viste sopra per ottenere:
$ ~ (a,a-1) \in C $ quindi $ ~ (a(a-1),a-1) \in C $
$ ~ (a-1,a) \in C $ quindi $ ~ (a(a-1),a) \in C $
$ ~ (a(a-1),a) \in C, (a(a-1),a-1) \in C \Rightarrow (a(a-1),1) \in C $
che ci dice che la a(a-1) esima potenza di un elemento sta nel nucleo.
Tornando alla notazione del problema, segue che $ ~ \forall a \in A, (a(a-1),1) \in C $. Quindi, per una proprietà già detta e il fatto che Z (chi più di lui) è euclideo, detto:
$ ~ d = \mbox{gcd}_{a \in A} a(a-1) $, possiamo dire che $ ~ (d,1) \in C $.
Se per caso d=1, abbiamo la tesi.
Se per caso non lo è, osserviamo che deve essere 2. Se d > 2 divide $ ~ a(a-1) $ per ogni $ ~ a \in A $, allora (un primo dispari che divide d, oppure 2, nel caso d sia una potenza di due e quindi almeno 4) divide $ ~ \frac 12 a(a-1) $ per ogni $ ~ a \in A $, contraddizione.
Resta il caso d=2, cioè per lo meno sappiamo che $ ~ (2,1) \in C $.
Però qua per ora mi blocco... vedremo
(si vede che dopo un mese di interrogazioni qualcosa l'ho assorbito comunque)Tornando al problema, che è molto interessante, se non che la tesi è già un hint alla strada da seguire...
Sia G un gruppo, e definiamo C come l'insieme delle coppie di interi $ ~ (a,b) $ tali che:
$ ~ x,y \in G \Rightarrow x^ay^b = y^bx^a $
Ora ci servono un po' di proprietà (tutte facili, chiaramente)
$ ~ (a,0) \in C $
$ ~ (a,b) \in C \Rightarrow (ka,jb) \in C $
$ ~ (a,b),(a,c) \in C \Rightarrow (a,kb+jc) \in C $
$ ~ (a,b) \in C \Rightarrow (b,a) \in C $
Dalla seconda proprietà segue anche che $ ~ (a,b),(a,c) \in C \Rightarrow (a,\mbox{gcd}(b,c)) \in C $
Ora, a partire dalle ipotesi, troviamo qualche elemento in C!
$ ~ (xy)^a = x^ay^a $, moltiplicando a destra per $ ~ x^{-1} $ e a sinistra per $ ~ y^{-1} $:
$ ~ (yx)^{a-1}=x^{a-1}y^{a-1} $
$ ~ (yx)^a = x^{a-1}y^{a-1}yx $
$ ~ y^ax^a = x^{a-1}y^{a-1}yx $
$ ~ y^ax^{a-1}=x^{a-1}y^a $
Quindi $ ~ (xy)^a = x^ay^a \Rightarrow (a,a-1) \in C $ (è sempre sottointeso "per tutti gli x,y").
Qual è l'idea del problema?
E' applicare saggiamente le proprietà viste sopra per ottenere:
$ ~ (a,a-1) \in C $ quindi $ ~ (a(a-1),a-1) \in C $
$ ~ (a-1,a) \in C $ quindi $ ~ (a(a-1),a) \in C $
$ ~ (a(a-1),a) \in C, (a(a-1),a-1) \in C \Rightarrow (a(a-1),1) \in C $
che ci dice che la a(a-1) esima potenza di un elemento sta nel nucleo.
Tornando alla notazione del problema, segue che $ ~ \forall a \in A, (a(a-1),1) \in C $. Quindi, per una proprietà già detta e il fatto che Z (chi più di lui) è euclideo, detto:
$ ~ d = \mbox{gcd}_{a \in A} a(a-1) $, possiamo dire che $ ~ (d,1) \in C $.
Se per caso d=1, abbiamo la tesi.
Se per caso non lo è, osserviamo che deve essere 2. Se d > 2 divide $ ~ a(a-1) $ per ogni $ ~ a \in A $, allora (un primo dispari che divide d, oppure 2, nel caso d sia una potenza di due e quindi almeno 4) divide $ ~ \frac 12 a(a-1) $ per ogni $ ~ a \in A $, contraddizione.
Resta il caso d=2, cioè per lo meno sappiamo che $ ~ (2,1) \in C $.
Però qua per ora mi blocco... vedremo
Alla fine comunque sapere che i quadrati commutano risulta abbastanza comodo.
Sia A l'insieme di tutti gli a tali che
$ ~ x,y \in G \Rightarrow (xy)^a = x^ay^a $
(sto aggiungendo un po' di elementi all'A originale)
Sia A' il sottoinsieme di A costituito dai suoi elementi pari.
Lemmino: se $ ~ a \in A $, allora uno tra a ed a-1 appartiene ad A'.
Se a è pari, allora vabeh... supponiamo che a sia dispari.
Allora sappiamo che $ ~ (xy)^{a-1} = y^{a-1}x^{a-1} $ (notate che si scambiano le lettere), ma a-1 è pari, quindi $ ~ x^{a-1},y^{a-1} $ commutano, quindi:
$ ~ (xy)^{a-1} = x^{a-1}y^{a-1} $
$ ~ a-1 \in a' $.
Lemmino due: A' è un sottogruppo di Z.
Dati $ ~ a,b \in A' $, sappiamo che:
$ ~ x^ay^a = (xy)^a = (xy)^b(xy)^{a-b} = x^by^b(xy)^{a-b} $
Ora, siccome a,b sono pari, e i quadrati commutano, succede che possiamo fare questo lavoro di semplificazione:
$ ~ x^{a-b}y^{a-b} = (xy)^{a-b} $
A' non è vuoto ed è chiuso rispetto alla differenza, quindi è un sottogruppo.
Siccome A' è un sottogruppo di Z, per caratterizzarlo basta considerare i più piccolo intero positivo contenuto in esso. Sia d questo intero. Allora $ ~ x \in A $ se e soltanto se $ ~ d \mid x $.
Per ogni $ ~ a \in A $, abbiamo $ ~ a \in A $ oppure $ ~ (a-1) \in A $, cioè $ ~ d \mid a $ oppure $ ~ d \mid a-1 $; in ogni caso possiamo stare sicuri che $ ~ d \mid a(a-1) $.
Quindi, per ogni $ ~ a \in A $, d divide $ ~ a(a-1) $. Ma abbiamo già visto sopra che, per le ipotesi di coprimalità, questo implica che d è 1 o 2, d inoltre è pari, quindi d=2.
Siccome $ ~ d \in A' $, quindi tanto meglio $ ~ d \in A $, sappiamo che:
$ ~ (xy)^2 = x^2y^2 $
$ ~ xyxy=xxyy $
$ ~ yx=xy $
Sia A l'insieme di tutti gli a tali che
$ ~ x,y \in G \Rightarrow (xy)^a = x^ay^a $
(sto aggiungendo un po' di elementi all'A originale)
Sia A' il sottoinsieme di A costituito dai suoi elementi pari.
Lemmino: se $ ~ a \in A $, allora uno tra a ed a-1 appartiene ad A'.
Se a è pari, allora vabeh... supponiamo che a sia dispari.
Allora sappiamo che $ ~ (xy)^{a-1} = y^{a-1}x^{a-1} $ (notate che si scambiano le lettere), ma a-1 è pari, quindi $ ~ x^{a-1},y^{a-1} $ commutano, quindi:
$ ~ (xy)^{a-1} = x^{a-1}y^{a-1} $
$ ~ a-1 \in a' $.
Lemmino due: A' è un sottogruppo di Z.
Dati $ ~ a,b \in A' $, sappiamo che:
$ ~ x^ay^a = (xy)^a = (xy)^b(xy)^{a-b} = x^by^b(xy)^{a-b} $
Ora, siccome a,b sono pari, e i quadrati commutano, succede che possiamo fare questo lavoro di semplificazione:
$ ~ x^{a-b}y^{a-b} = (xy)^{a-b} $
A' non è vuoto ed è chiuso rispetto alla differenza, quindi è un sottogruppo.
Siccome A' è un sottogruppo di Z, per caratterizzarlo basta considerare i più piccolo intero positivo contenuto in esso. Sia d questo intero. Allora $ ~ x \in A $ se e soltanto se $ ~ d \mid x $.
Per ogni $ ~ a \in A $, abbiamo $ ~ a \in A $ oppure $ ~ (a-1) \in A $, cioè $ ~ d \mid a $ oppure $ ~ d \mid a-1 $; in ogni caso possiamo stare sicuri che $ ~ d \mid a(a-1) $.
Quindi, per ogni $ ~ a \in A $, d divide $ ~ a(a-1) $. Ma abbiamo già visto sopra che, per le ipotesi di coprimalità, questo implica che d è 1 o 2, d inoltre è pari, quindi d=2.
Siccome $ ~ d \in A' $, quindi tanto meglio $ ~ d \in A $, sappiamo che:
$ ~ (xy)^2 = x^2y^2 $
$ ~ xyxy=xxyy $
$ ~ yx=xy $