Periodicità

[l'anormalista]

Stabilire per quali valori del parametro a la funzione y=tan(sin(ax)) ha periodo 2

[jordan]

1) se $ z>0 $ allora $ tan z >0 $.
2)se $ a=b +\pi $ allora $ tan{\sin b}=-tan{\sin a} $
da cui per $ 0<x<\pi $ la tangente è positiva e $ tan (x+\pi)<0 $
il periodo di $ tan(\sin x) $ vale $ 2\pi $.
quindi
$ \frac{2\pi}{a}=2 $ cioe $ a=\pi $.
sembra a me o è un po troppo facile?

[EvaristeG]

1) se $ z>0 $ allora $ tan z >0 $.

eh?

cmq, da [-1,1] a [tan(-1),tan(1)] la tangente è bigettiva, quindi tutto l'eventuale periodo è fornito dall'argomento della tangente. Il seno ha periodo $ 2\pi $ e dunque, se si vuole che il periodo sia 2, bisogna avere $ \sin(ax)=\sin(a(x+2)) $ il che è sempre vero se e solo se $ a(x+2)=ax+2k\pi $, quindi $ 2a=2k\pi $, ovvero $ a=k\pi $ per qualche k intero.

Ah, piccola nota di LaTeX:
non scrivete

Codice: Seleziona tutto

sin cos tan

ma

Codice: Seleziona tutto

\sin \cos \tan

la differenza è questa:
$ sin cos tan $ contro $ \sin \cos \tan $.

[jordan]

be, Evariste, scusa per il latex ma sto imparando..
comunque il punto 1) che hai contestato hai ragione ma in buona fede mi riferivo solo all'intervallo scritto sotto $ (0, \pi) $.

[EvaristeG]

Beh, allora no:
$ \tan(3\pi/4)=-1 $
e non mi sembra positiva, anche se $ 3\pi/4 $ lo è e sta in quell'intervallo.
Comunque il succo è che ti lasci via infinite soluzioni a può essere qualunque multiplo intero di pi greco.

[l'anormalista]

Beh, allora no:
$ \tan(3\pi/4)=-1 $
e non mi sembra positiva, anche se $ 3\pi/4 $ lo è e sta in quell'intervallo.
Comunque il succo è che ti lasci via infinite soluzioni a può essere qualunque multiplo intero di pi greco.

MA scusa EvaristeG come può una funzione periodica ammettere infiniti valori di a se è proprio a che fa dilatare o restringere il periodo ???
Per me la soluzione è questa:

tan(sin(ax)) deve essere periodica di 2, da cui ho:
sin(ax)=sin(a(x+2))
cioè:
2*pi+ax=ax+2a dunque a=pi e non a=n*pi

[jordan]

guarda che ha ragione Evariste (avevi dubbi? )

se $ \sin x = \sin y $ allora $ x=y + 2k\pi $ oppure $ x= (2k+1)\pi - y $. e nel nostro caso solo la prima ha soluzione per ogni x.

[l'anormalista]

guarda che ha ragione Evariste (avevi dubbi? )

se $ \sin x = \sin y $ allora $ x=y + 2k\pi $ oppure $ x= (2k+1)\pi - y $. e nel nostro caso solo la prima ha soluzione per ogni x.

OK si vede che ho intrapeso male il quesito perchè pensavo che la funzione dovesse avere periodo minimo 2 invece nel vostro caso tipo la funzione $ y=tan(sin(2*\pi*x)) $ ha periodo minimo 1

[EvaristeG]

LOL, è vero, la tua interpretazione è molto più sensata, ora che ci penso ... non ci avevo pensato molto, onestamente, ed ho inteso "per quali valori di a, 2 è un periodo della funzione" ... se vuoi invece che 2 sia il minimo periodo possibile, allora in effetti devi avere che $ a=\pi $.