Se $ x_1, x_2 $ sono le radici del polinomio $ x^2 -6x+1 $ allora per ogni intero $ n \in \mathbb{N} $
$ {x_1}^{n}+{x_2}^{n} $ è un intero e non è divisibile per 5.
[Polinomio] Potenze ennesime delle radici
bel problemino..
tesi A: $ {x_1}^n+{x_2}^n $ è intero.
per ipotesi dato il polinomio $ x^2-6x+1 $ allora $ x_1+x_2=6 $ e $ x_1x_2=1 $.
per la somma dei quadrati delle radici abbiamo $ {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2- 2x_1x_2 $, quindi anch'esso intero.
supponiamo che $ {x_1}^{n-1}+{x_2}^{n-1} $ e $ {x_1}^{n}+{x_2}^{n} $siano interi.
allora $ {x_1}^{n+1}+{x_2}^{n+1}=(x_1+x_2)({x_1}^n+{x_2}^n)-x_1x_2({x_1}^{n-1}+{x_2}^{n-1}) $quindi anch'esso intero.
tesi B: $ {x_1}^n+{x_2}^n $ non è congruo 0 mod 5.
sia $ P(i) $ il residuo modulo 5 di $ {x_1}^i+{x_2}^i $.
allora P(1)=1 e P(2)=-1.
inoltre per la ricorsione precedene abbiamo $ P(i+1)=P(i)-P(i-1) $ da cui otteniamo di seguito una successione di residui P(n) di periodo 6, tutti diversi da 0, della forma (1, -1, -2, -1, +1, +2), (1, -1, -2...)(..)..
tesi A: $ {x_1}^n+{x_2}^n $ è intero.
per ipotesi dato il polinomio $ x^2-6x+1 $ allora $ x_1+x_2=6 $ e $ x_1x_2=1 $.
per la somma dei quadrati delle radici abbiamo $ {x_1}^2+{x_2}^2=(x_1+x_2)^2- 2x_1x_2 $, quindi anch'esso intero.
supponiamo che $ {x_1}^{n-1}+{x_2}^{n-1} $ e $ {x_1}^{n}+{x_2}^{n} $siano interi.
allora $ {x_1}^{n+1}+{x_2}^{n+1}=(x_1+x_2)({x_1}^n+{x_2}^n)-x_1x_2({x_1}^{n-1}+{x_2}^{n-1}) $quindi anch'esso intero.
tesi B: $ {x_1}^n+{x_2}^n $ non è congruo 0 mod 5.
sia $ P(i) $ il residuo modulo 5 di $ {x_1}^i+{x_2}^i $.
allora P(1)=1 e P(2)=-1.
inoltre per la ricorsione precedene abbiamo $ P(i+1)=P(i)-P(i-1) $ da cui otteniamo di seguito una successione di residui P(n) di periodo 6, tutti diversi da 0, della forma (1, -1, -2, -1, +1, +2), (1, -1, -2...)(..)..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
uhm...io mi ero incasinato la vita...cmq per la prima parte si può anche vedere che col binomio di newton vanno via facilmente le radici per la seconda...beh...mi sa che così non si arrivava a niente 
[b]Membro Club Nostalgici[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Quello che ha dimostrato jordan è un fatterello noto: posto $ s_n=x^n+y^n $ si ha $ s_n=\sigma_1s_{n-1}+\sigma_2s_{n-2} $ dove $ \sigma_1, ~\sigma_2 $ sono le somme simmetriche elementari.
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
