Propongo per esercizio la dimostrazione di tre teoremi che ci sono stati solo enunciati dall'esercitatore (interessanti se G non è commutativo). Sinceramente non ho ancora provato ad affrontarli, per cui ignoro la loro difficoltà.
I teorema di Sylow
Siano G un gruppo di ordine n e p primo t.c. esiste e intero positivo per cui $ p^e | n $ ma $ p^{e+1} $ non $ | n $. Allora esiste un sottogruppo di ordine $ p^e $.
Un tale sottogruppo è detto p-Sylow di G.
II teorema di Sylow
Tutti i p-Sylow sono coniugati.
III teorema di Sylow
Detto s il numero di p-Sylow di G, s | n e s congruo a 1 modulo p.
P.S. Si accettano scommesse su quanti minuti ci metterà edriv a risolverli
edriv ha scritto:edriv avrebbe anche altro da fare eh!
... il che è palesemente un'ignobile scusa per il fatto che non li sai fare nonostante ci hai pensato durante ogni viaggio in corriera, e perchè quando leggevi l'herstein hai saltato tutte le loro dimostrazioni, ammettilo!!!
edriv ha scritto:edriv avrebbe anche altro da fare eh!
... il che è palesemente un'ignobile scusa per il fatto che non li sai fare nonostante ci hai pensato durante ogni viaggio in corriera, e perchè quando leggevi l'herstein hai saltato tutte le loro dimostrazioni, ammettilo!!!
Ehi cerca di non parlare così a edriv!!! Lui sa fare tutto ma non per forza deve farlo, capito??? :twisted:
Prova a farli tu che sei solo bravo ad offendere!!!
[b]Membro Club Nostalgici[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Hmm visto che non li avevo mai fatti neanche io ci ho provato ... sono carini, ma credo siano un po' difficilotti per chi non ha abitudine con certe cose...
Per pigrizia, ecco alcuni hint sul primo:
innanzitutto scriviamo $ o(G)=n=p^ek $ con $ p\not\vert k $ e poi, quello che farebbe ogni buon matematico, ovvero l'induzione ... e qui, beh, de gustibus, su e oppure su n ... io consiglierei su n.
A questo punto, come si fa a far calare n? O si considera un sottogruppo o si quozienta. Sottogruppi ok, si prendono impunemente, ma per quozientare ci vuol roba normale, ad esempio cose che stan nel centro.
Ed ora, ci son due casi o $ p\vert |Z(G)| $ e allora...
oppure $ p\not\vert |Z(G)| $, che è il caso cattivo...qui si usa questa formula:
$ |G|=|Z(G)|+|C_1|+\ldots+|C_j| $
dove i $ C_i $ sono tutte le classi di coniugio in G fatte da più di un elemento, ovvero, i C_i sono insiemi del tipo $ \{gag^{-1}\vert g\in\ G\} $ per un qualche a in G, scegliendo gli a di modo che i C_i vengano tutti diversi.
(Questa si chiama formula delle classi)
Beh, per quanto riguarda l'uso di questa formula ... diciamo solo che per far calare n qui non si quozienta.
:twisted: