Avrei bisogno di dimostrare qualche cosina di Geometria

[dorothyhung]

Qualcuno mi potrebbe dare una mano a dimostrare la seguenti affermazioni? Ci strova sempre nello spazio proiettivo $ P(R^3) $:

1. Tre punti non allineati determinano un unico piano che li contiene

2. Due rette si intersecano in un punto se e solo se sono complanari.

3. Considerate tre rette a due a due sghembe, esistono infine rette che le intersecano tutte e tre.

Grazie dell'aiuto!

[SkZ]

idee (non scritte completamente)
1) dato che un piano e' definito univocamente dall'equazione $ ~ax+by+cz=d $ con $ ~a^2+b^2+c^2=1 $, il sitema di equazioni che si ottiene sostituendo le coordinate dei tre punti assieme alla condizione di normalizzazione mi determina univocamente un piano se e soltanto se i 3 punti non appartengono ad una stessa retta.

[hydro]

Due rette si intersecano in un punto se e solo se sono complanari.

Non è del tutto vero quel che hai scritto, io direi "due rette si intersecano in un punto o sono coincidenti se e solo se sono complanari".
Detto questo, se due rette si intersecano in un punto o coincidono, allora ovviamente sono complanari. Se due rette sono complanari, allora vivono in $ \mathbb{P}^2 $, nel quale si intersecano ovviamente per come è stato costruito geometricamente $ \mathbb{P}^2 $, ovvero aggiungendo i punti all'infinito delle rette nel piano. Oppure, se vuoi una dimostrazione rigorosa, siano $ r,s $ tali rette. Per Grassman $ \dim(r)+ \dim (s)- \dim(r+s)=\dim (r \cap s) $. Essendo $ \dim(r) + \dim (s) =2 $ e $ \dim (r +s) = 1 \vee 2 $ ne segue che $ \dim (r \cap s) = 0 \vee 1 $, ovvero r e s si intersecano in un punto o coincidono.

[dorothyhung]

@ Skz: non capisco.... perchè l'equazione del piano che mi dai non è omogenea e nello spazio proiettivo dovrebbe esserlo, no?

[dorothyhung]

Grazie mille hydro, almeno questo lo ha capito! Qualche idea per gli altri?