Quadrilatero inscritto in una circonferenza
Moderatore: tutor
Il testo del problema presuppone che dati quattro segmenti, il cerchio che circoscrive i possibili quadrilateri ciclici, formati da una combinazione di questi lati, e\' lo stesso.
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<BR>Ma e\' vero questo? Come si dimostra?
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<BR>Ad esempio supponiamo di avere un quadrilatero formato da un triangolo isoscele piu\' un opportuno traingolo attaccato alla base del primo con vertice sulla circucirconferenza del triangolo isoscele. Disponendo in modo diverso i quattro lati possiamo ottenere un trapezio isoscele (sicuramente ciclico) di uguale area. Come si dimostra (anche in questo particolare caso, ma sarebbe meglio in generale) che i raggi dei due cerchi sono eguali (se lo sono)?
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<BR>Ma e\' vero questo? Come si dimostra?
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<BR>Ad esempio supponiamo di avere un quadrilatero formato da un triangolo isoscele piu\' un opportuno traingolo attaccato alla base del primo con vertice sulla circucirconferenza del triangolo isoscele. Disponendo in modo diverso i quattro lati possiamo ottenere un trapezio isoscele (sicuramente ciclico) di uguale area. Come si dimostra (anche in questo particolare caso, ma sarebbe meglio in generale) che i raggi dei due cerchi sono eguali (se lo sono)?
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<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> bel problema...........ora ci penso.
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mmmmmmmmmmaaaaaaaaaaaaarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrttttttttttttttttttttttttoooooooooooooooo..
In effetti la risposta alla mia osservazione e\' positiva. E la prova non tanto complicata.
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<BR>Dopo aver sciolto questo dubbio, ho pensato un po\' al problema originale e ho trovato che e\' possibile, in teoria, determinare il raggio del cerchio circoscritto ad un quadrilatero di cui sono noti i lati.
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<BR>Detta Q l\'area del quadrilatero (che possiamo ottere in funzione dei lati con la formula di Brama-quellola\') e Ta, Tb, Tc e Td le superfici dei quattro triangoli isosceli di base ripettivamente a, b, c e d e lari uguali al raggio del cerchio R, si ha che Q=Ta+Tb+Tc+Td
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<BR>cioe\' Q=a(R^2-a^2)^.5 +b(R^2-b^2)^.5 +c(R^2-c^2)^.5 +d(R^2-d^2)^.5 .
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<BR>Questa equazione, in teoria, da i valori di R cercati dal problema. Ma io non saprei come fare a risolverla.
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<BR>Che ne dite della proposta?
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<BR>Detta Q l\'area del quadrilatero (che possiamo ottere in funzione dei lati con la formula di Brama-quellola\') e Ta, Tb, Tc e Td le superfici dei quattro triangoli isosceli di base ripettivamente a, b, c e d e lari uguali al raggio del cerchio R, si ha che Q=Ta+Tb+Tc+Td
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<BR>cioe\' Q=a(R^2-a^2)^.5 +b(R^2-b^2)^.5 +c(R^2-c^2)^.5 +d(R^2-d^2)^.5 .
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<BR>Questa equazione, in teoria, da i valori di R cercati dal problema. Ma io non saprei come fare a risolverla.
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<BR>Che ne dite della proposta?
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Ho guardato tutto il filone. Provo ad esplicitare qualche dettaglio della soluzione di Mircea.
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<BR>Proviamo un risultato preliminare sui triangoli. Consideriamo un traingolo di lati (a,b,c) e angoli opposti ai corrispettivi lati( < alfa > , < beta >, < gamma >) , altezze relative ai lati (ha,hb,hc) e area T. Si ha che 2T=b*hb=a*b*sen < gamma >. Ma se R e\' il raggio del cerchio inscritto si c/(2R)=sen < gamma > da cui R=a*b*c/(4T).
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<BR>Siano a, b, c e d i lati del quadrilatero inscritto nel cerchio di raggio R e siano x e y le diagonali che completano i traingoli (a,b,x) e (b,c,y).
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<BR>Per quanto provato sopra, dette T1 e T2 le superfici dei traingoli (c,d,x) e (a,b,x) si ha che 4RT1=cdx e 4RT2=abx cioe\' 4RQ=(ab+cd)x, dove Q e\' l\'area del quadrilatero (nota in funzione di a,b,c,d tramite la formula di bramaputa). Allo stesso modo si ottiene che 4RQ=(cb+ad)y. Finora abbiamo 2 equazione e 3 incognite x,y,R. La terza equazione e\' fornita dal teorema di Tolomeo che si scrive come ac+bd=xy.
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<BR>Moltiplicando le prime due, esplicitate rispetto ad x ed y, ed uguagliandole alla terza si ootiene che
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<BR>R=rq[(ac+bd)(cd+ab)(bc+ad)]/(4Q).
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 29-01-2003 11:44 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 29-01-2003 11:59 ]
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<BR>Proviamo un risultato preliminare sui triangoli. Consideriamo un traingolo di lati (a,b,c) e angoli opposti ai corrispettivi lati( < alfa > , < beta >, < gamma >) , altezze relative ai lati (ha,hb,hc) e area T. Si ha che 2T=b*hb=a*b*sen < gamma >. Ma se R e\' il raggio del cerchio inscritto si c/(2R)=sen < gamma > da cui R=a*b*c/(4T).
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<BR>Siano a, b, c e d i lati del quadrilatero inscritto nel cerchio di raggio R e siano x e y le diagonali che completano i traingoli (a,b,x) e (b,c,y).
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<BR>Per quanto provato sopra, dette T1 e T2 le superfici dei traingoli (c,d,x) e (a,b,x) si ha che 4RT1=cdx e 4RT2=abx cioe\' 4RQ=(ab+cd)x, dove Q e\' l\'area del quadrilatero (nota in funzione di a,b,c,d tramite la formula di bramaputa). Allo stesso modo si ottiene che 4RQ=(cb+ad)y. Finora abbiamo 2 equazione e 3 incognite x,y,R. La terza equazione e\' fornita dal teorema di Tolomeo che si scrive come ac+bd=xy.
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<BR>Moltiplicando le prime due, esplicitate rispetto ad x ed y, ed uguagliandole alla terza si ootiene che
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