Ciao,
qualcuno mi da' un'indicazione su come risolvere il sistema di equazioni composto dalle seguenti equazioni?
Le eq.ni sono:
2^x+2^y = 5 mod 7
xy = 1 mod 7
Grazie
equazioni esponenziali mod n
suppongo che operi in Zdato che usi i moduli.. 
allora, $ 2(x^2+y^2)=2(x+y)^2-4xy \equiv 5 \pmod 7 $ cioe $ 2(x+y)^2\equiv 2 \pmod 7 $. da sottolineare che quando abbiamo un fattore a destra e sinistra del segno di congruenza non si puo eliminare..
ma in questo caso notando che $ z^2 \pmod 7 $ è pari solo a 0, 1, 4, 2 allora possiamo concludere che $ x+y \equiv +1 \pmod 7 $ oppure $ x+y \equiv -1 pmod 7 $ e $ xy\equiv 1 \pmod $ per ipotesi.
CASO I. chiamiamo $ a $ e $ b $ i residui modulo 7 di $ x $e $ y $, con $ a,b \in {0,1,2...6} $. $ a+b $ vale al massimo 12 quindi poiche deve essere $ ab \equiv 1 \ pmod 7 $ allora $ a+b $ puo valere solo 1 (caso assurdo) o 8 (che dà come soluzione solo la coppia simmetrica (3.5)(5,3)).
CASO II.dato che $ a+b\equiv 6 \equiv 13 $ ma $ a+b <13 $ allora si ha per forza che$ a+b=6 $ e $ ab\equiv 1 $, che dà come unica soluzione accettabile le coppie simmetriche (2,4)(4,2).
riassumendo le coppie che soddisfano la tesi sono tutte e sole le coppie (x,y) tali che $ (x,y)\equiv (2,4) o (4,2) o (3,5) o (5,3) \pmod 7 $.
bye
allora, $ 2(x^2+y^2)=2(x+y)^2-4xy \equiv 5 \pmod 7 $ cioe $ 2(x+y)^2\equiv 2 \pmod 7 $. da sottolineare che quando abbiamo un fattore a destra e sinistra del segno di congruenza non si puo eliminare..
ma in questo caso notando che $ z^2 \pmod 7 $ è pari solo a 0, 1, 4, 2 allora possiamo concludere che $ x+y \equiv +1 \pmod 7 $ oppure $ x+y \equiv -1 pmod 7 $ e $ xy\equiv 1 \pmod $ per ipotesi.
CASO I. chiamiamo $ a $ e $ b $ i residui modulo 7 di $ x $e $ y $, con $ a,b \in {0,1,2...6} $. $ a+b $ vale al massimo 12 quindi poiche deve essere $ ab \equiv 1 \ pmod 7 $ allora $ a+b $ puo valere solo 1 (caso assurdo) o 8 (che dà come soluzione solo la coppia simmetrica (3.5)(5,3)).
CASO II.dato che $ a+b\equiv 6 \equiv 13 $ ma $ a+b <13 $ allora si ha per forza che$ a+b=6 $ e $ ab\equiv 1 $, che dà come unica soluzione accettabile le coppie simmetriche (2,4)(4,2).
riassumendo le coppie che soddisfano la tesi sono tutte e sole le coppie (x,y) tali che $ (x,y)\equiv (2,4) o (4,2) o (3,5) o (5,3) \pmod 7 $.
bye
The only goal of science is the honor of the human spirit.
io avevo fatto l'esercizio non con $ 2^x + 2^y $ ma con $ 2x^2 + 2y^2 $ 
nel tuo caso l'esercizio è comunque mooolto piu semplice..in generale se hai modulo p (primo) con (a,p)=1 allora l'esponenziale $ a^x $ ha periodo y, e sai ke $ y | p-1 $. nelnostro caso puoi vedereche le potenze di 2 modulo 7 danno resto 2, 4, 1, 2, 4, 1, ..... ha quindi periodo 3.
affinche la somma sia 5 l'unico caso è 4, 1, ma xy sarebbe congruo 4 modulo 7, assurdo..
comunque vatti a cercare l'ordine moltiplicativo che può interessarti..
nel tuo caso l'esercizio è comunque mooolto piu semplice..in generale se hai modulo p (primo) con (a,p)=1 allora l'esponenziale $ a^x $ ha periodo y, e sai ke $ y | p-1 $. nelnostro caso puoi vedereche le potenze di 2 modulo 7 danno resto 2, 4, 1, 2, 4, 1, ..... ha quindi periodo 3.
affinche la somma sia 5 l'unico caso è 4, 1, ma xy sarebbe congruo 4 modulo 7, assurdo..
comunque vatti a cercare l'ordine moltiplicativo che può interessarti..
The only goal of science is the honor of the human spirit.