1.Dimostrare che nessun intero positivo k è tale che il prodotto di k interi positivi consecutivi è una potenza k-esima di un intero.
2.questo l'ho pensato io, ma mi sembra che o è una domanda insulsa o un problema non semplice:Esiste un valore minimo da dare ad n, intero positivo, tale che comunque presi n interi consecutivi esiste una qualsiasi potenza a esponente intero di un intero?ovviamente: se esiste qual'è?
mi perdonino quelli che l'hanno letta prima della correzione.
Normale un pò antiquato
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Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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darkcrystal
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Bon... prendiamo $ \displaystyle \prod_{i=0}^{k-1} (a+i)=j^k $ per certi a,j,k.
Dev'essere $ a<j<(a+k-1) $ per motivi di "dimensione".
Dunque c'è un certo r tale che $ \displaystyle \prod_{i=0}^{k-1} (a+i)=(a+r)^k $. Ma a sinistra c'è anche (a+r+1), tra i fattori, e $ mcd(a+r,a+r+1)=1 $, assurdo. Detto in altri termini, sia p un primo che divide $ a+r+1 $. Allora dev'essere $ a+r+1=np \Rightarrow p|(a+r+1)|\prod_{i=0}^{k-1} (a+i)=(a+r)^k $$ \Rightarrow p|(a+r) \mbox{ e } p|(a+r+1) \Rightarrow p|1 $, assurdo a meno che $ a+r+1=1 $ che però è a sua volta assurdo.
Ci sono forse da sistemare dei casi speciali, ma ora non ho tempo... penserò poi alla seconda questione, ma ad occhio direi che la risposta sia "no".
Ciao!
Dev'essere $ a<j<(a+k-1) $ per motivi di "dimensione".
Dunque c'è un certo r tale che $ \displaystyle \prod_{i=0}^{k-1} (a+i)=(a+r)^k $. Ma a sinistra c'è anche (a+r+1), tra i fattori, e $ mcd(a+r,a+r+1)=1 $, assurdo. Detto in altri termini, sia p un primo che divide $ a+r+1 $. Allora dev'essere $ a+r+1=np \Rightarrow p|(a+r+1)|\prod_{i=0}^{k-1} (a+i)=(a+r)^k $$ \Rightarrow p|(a+r) \mbox{ e } p|(a+r+1) \Rightarrow p|1 $, assurdo a meno che $ a+r+1=1 $ che però è a sua volta assurdo.
Ci sono forse da sistemare dei casi speciali, ma ora non ho tempo... penserò poi alla seconda questione, ma ad occhio direi che la risposta sia "no".
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"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Re: Normale un pò antiquato
Scusami, ma la seconda domanda l'ho letta tre volte ma non riesco a capirla, ti spiacerebbe rispiegarla?Carlein ha scritto:2. ?
(o meglio, cosi' come e' scritto mi sembra che n=1 funziona...)
gvazie
Fondatore dell'associazione "Non uno di meno", per lo sterminio massiccio dei nani e affini.
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darkcrystal
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Dunque vediamo... stima! Fisso un M "grande" (chissà poi cos'è un numero grande). Quante potenze perfette ci sono, tali che $ 1 \leq a^b \leq M $?
Beh, i quadrati sono $ \displaystyle \leq M^{\frac{1}{2}} $, ed in generale le potenze k-esime $ \displaystyle \leq M^{\frac{1}{k}} $.
L'esponente massimo di una potenza minore o uguale ad M non supera $ \displaystyle log_2(M) $ per evidenti motivi.
Perciò stimando MOLTO per eccesso il numero di potenze perfette che ci sono in questo intervallo ottengo $ \displaystyle \sum_{k=2}^{log_2M} M^{\frac{1}{k}} \leq (log_2(M)-1)M^{\frac{1}{2}} $.
Ma allora per il Pigeonhole c'è un "buco" (sequenza di numeri consecutivi non potenze perfette) lungo almeno $ \displaystyle \lceil \frac{M}{log_2(M)M^{\frac{1}{2}}+1} \rceil $che, quando M va ad infinito, diventa arbitrariamente grande.
Spero.
Ciao!
Beh, i quadrati sono $ \displaystyle \leq M^{\frac{1}{2}} $, ed in generale le potenze k-esime $ \displaystyle \leq M^{\frac{1}{k}} $.
L'esponente massimo di una potenza minore o uguale ad M non supera $ \displaystyle log_2(M) $ per evidenti motivi.
Perciò stimando MOLTO per eccesso il numero di potenze perfette che ci sono in questo intervallo ottengo $ \displaystyle \sum_{k=2}^{log_2M} M^{\frac{1}{k}} \leq (log_2(M)-1)M^{\frac{1}{2}} $.
Ma allora per il Pigeonhole c'è un "buco" (sequenza di numeri consecutivi non potenze perfette) lungo almeno $ \displaystyle \lceil \frac{M}{log_2(M)M^{\frac{1}{2}}+1} \rceil $che, quando M va ad infinito, diventa arbitrariamente grande.
Spero.
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Membro dell'EATO
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per Febo,chiedevo semplicemente questo:esiste un valore intero minimo n( minimo rispetto a tutti quelli che esisterebbero se questo esistesse)tale che comunque tu prenda n interi positivi consecutivi hai che tra questi almeno uno è una potenza perfetta.Se io avessi chiesto semplicemente di una potenza particolare(i quadrati ad esempio) perfetta è ovvio che la differenza tra due potenze perfette consecutive cresce al crescere degli interi e che la risposta è negativa. Ma è la stessa cosa se mi riferisco a tutte le potenze perfette insieme?
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