Distanze da un quadrilatero

[Pigkappa]

Sia ABCD (con i vertici in questo ordine) un quadrilatero ciclico e sia P un punto sulla circonferenza di ABCD. Dimostrare che il prodotto delle distanze di P dai lati AB, CD è uguale al prodotto delle distanze da P a BC, DA ed è anche uguale al prodotto delle distanze da P a AC, BD.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

facile suluzione trigonometrica:

chiamiamo D, E, F, G, J, K le proiezioni di P rispettivamente su AB, DC, CB, DA, AC, BD.

$ \displaystyle \overline{PD} \cdot \overline{PE} = \overline{PB} \sin{\angle{PBA}} \cdot \overline{PC} \sin{\angle{PCD}} $

$ \displaystyle \overline{PF} \cdot \overline{PG} = \overline{PB} \sin{\angle{PDC}} \cdot \overline{PD} \sin{\angle{PBA}} $

$ \displaystyle \overline{PJ} \cdot \overline{PK} = \overline{PA} \sin{\angle{PDC}} \cdot \overline{PB} \sin{\angle{PCD}} $

quindi

$ \displaystyle \overline{PD} \cdot \overline{PE} = \overline{PF} \cdot \overline{PG} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{PB} \sin{\angle{PBA}} \cdot \overline{PC} \sin{\angle{PCD}} = $$ \displaystyle \overline{PB} \sin{\angle{PDC}} \cdot \overline{PD} \sin{\angle{PBA}} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{\overline{PC}}{\sin{\angle{PDC}}} = \frac{\overline{PD}}{\sin{\angle{PCD}}} $ (vero per law of sines)

$ \displaystyle \overline{PD} \cdot \overline{PE} = \overline{PJ} \cdot \overline{PK} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{PB} \sin{\angle{PBA}} \cdot \overline{PC} \sin{\angle{PCD}} = $$ \displaystyle \ \overline{PA} \sin{\angle{PDC}} \cdot \overline{PB} \sin{\angle{PCD}} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{\overline{PC}}{\sin{\angle{PAC}}} = \frac{\overline{PA}}{\sin{\angle{PCA}}} $ (vero per law of sines)


quindi $ \displaystyle \overline{PD} \cdot \overline{PE} = \overline{PF} \cdot \overline{PG} = \overline{PJ} \cdot \overline{PK} $

[Pigkappa]

Ma vi divertite così tanto a togliere i problemi a chi non li sa fare in poco tempo?
Quando qualcuno di esperto vede un bel problema che gli viene in 5 minuti, forse deve considerare il caso di non postare, no?

[rapportaureo]

Per la prima uguaglianza si potrebbe anche evitare la trigonometria..
Visto che ci sono cambio le lettere, visto che la D di Gabriel indica due cose.
siano N,Q,M,R,K,J le proiezioni di P rispettivamente su AD,DC,BC,AB,AC,BD.
i quadrilateri NPQD e PMBR sono simili,quindi PN:PR=PQ:PM.Allora PQxPR=PNxPM.