Lanciamo una moneta?

[angus89]

Allora, c'è un gioco, dove ci sono due giocatori: G1 e G2 che lanciano una moneta, vince chi fà più volte testa.
G1 lancia la moneta n volte, mentre G2 la lancia n+1 volte, ma comunica sempre n risultati,
quindi cerca di massimizzare il numero di teste.
Si determini la probabilità di vittoria di G1.

Allora...io scrivo la mia soluzione di cui non sono sicuro...

Sia $ S_1 $ lo spazio campionario equiprobabile di G1
Sia $ S_2 $ lo spazio campionario equiprobabile di G2

La dimensione di $ S_1 $ è di $ 2^n $ elementi
La dimensione di $ S_2 $ è di $ 2^{n+1} $ elementi

La dimensione naturalmente indica tutti i possibili esiti equiprobabili dei rispettivi lanci...

Ora introduciamo due variabili casuali: X e Y.
X è il numero di teste che raggiunge G1
Y è il numero di teste che raggiunge G2

Pertanto le variabili casuali applicate agli spazi campionari equiprobabili:
$ \\ X(S)={0,1,2,...,n}\\ Y(S)={0,1,2,...,n} $

Dato che entrambi i giocatori possono ottenere al massino n teste...
Infatti come detto prima G2 pur lanciando n+1 volte comunica n risultati.

Pertanto studiamo ora la distribuzione di tali variabili casuali.

$ f(x_i) = \frac{ \binom{n}{x_i} }{2^n} $

Si ha tale distribuzione perchè se ammettiamo che ci sono x teste allora osserviamo con le combinazioni tutti i modi
che hanno per disporsi...

vale lo stesso per la distribuzione della variabile casuale Y, con qualche differenza
$ \displaystyle \\ f(y_j) = \frac{ \binom{n+1}{y_j} }{2^n} $ se$ y_j < n $
$ \displaystyle f(y_j) = \frac{2}{2^n} $ se $ y_j = n $
Questo perchè ora osserviamo in quanti modi è possibile ottenere due teste su n+1 lanci

A questo punto...date le distribuzioni possiamo arrivare al problema.
Gli esiti del gioco sono due
$ E={V1,V2} $
V1 è la vittoria di G1
V2 è la vittoria di G2

Ricordando alcuni assiomi di probabilità stabiliamo che
$ P(V1)+P(V2)=1 $
Ovvero probabilità di vittoria di G1 somamta alla probabilità di vittoria di G2 dà 1

Le probabilità che G1 perda sono uguali alle probabilità che G2 vinca
Scritto in formule (che non sò fare) probabilità di V1 complementare ugaule a probabilità di V2

Quindi la probablilità che vinca G1 è uguale a 1 meno la probabilità che perda

Scritto in formula

$ \displaystyle P(V1)=1-\sum_{i=1}^{i<j} f(x_i) $

Ovvero, bisogna sapere quanti lanci sono stati fatti e quante teste ha fatto G2
e quindi fare la sommatoria del casi in cui G1 faccia un numero di teste minori e sottrarla a 1

A me sinceramente sembra giusto ma incompleto...anche perchè arrivo ad una formula e non a un risultato...
Spero che qualcuno abbia avuto la pazienza di leggere XD

[darkcrystal]

Curiosità (chiedo perchè mi ricorda molto un problema che avevo visto tempo fa): chi vince se il numero di teste ottenute dal primo giocatore è uguale al numero di teste dichiarate dal secondo giocatore?

[jordan]

c'era un cesenatico diqualke anno fapraticamente uguale..
il trucco è farti a mano i casi bassi e poi dimostrare quello che intuisci per induzione..

per n=1 viene 3/8, per n=2 viene 15/32, per n=3 viene 63/128..

non sarà mica $ \displaystyle p_n=\frac{2^{2n}-1}{2^{2n+1}} $

[angus89]

Curiosità (chiedo perchè mi ricorda molto un problema che avevo visto tempo fa): chi vince se il numero di teste ottenute dal primo giocatore è uguale al numero di teste dichiarate dal secondo giocatore?

ke ke sbadato...non l'ho scritto...
allora...vince G1 in caso di parità...

c'era un cesenatico diqualke anno fapraticamente uguale..
il trucco è farti a mano i casi bassi e poi dimostrare quello che intuisci per induzione..

per n=1 viene 3/8, per n=2 viene 15/32, per n=3 viene 63/128..

non sarà mica $ \displaystyle p_n=\frac{2^{2n}-1}{2^{2n+1}} $

mmm...
Cavolo...molto convincente...
Chissà perchè non ci ho pensato...