(a) Siano a e b due interi tali che $ ab $ divide $ a^2+b^2+1 $.
Dimostrare che:
$ \displaystyle \frac {a^2+b^2+1}{ab}=3 $
(b)Determinare tutte le quaterne di interi positivi $ (m, n, a, b) $ tali che:
$ \displaystyle a^m b^n = {(a+b)}^2 +1 $
m,n,a,b
m,n,a,b
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rapportaureo
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Per il punto a uso Vieta Jumping.
Sia $ \frac {a^2+ b^2 + 1}{ab}=k $
Sia (M,N) la coppia di soluzioni intere positive con somma minima.
Si consideri l'equazione$ \frac{ x^2+N^2+1}{xN} =k $ ,da cui
$ x^2-kNx+N^2+1=0 $che ha una radice$ x_1=M $.
Quindi $ x_2=kN-M \Rightarrow x_2 $è un intero.
Inoltre $ x_2= \frac{N^2+1}{M} \Rightarrow x_2 $ è positivo.
$ kN-M =\frac{N^2+1}{M} \Rightarrow $ $ \frac{N^2+1}{M} $ >-M
$ \Rightarrow M>\frac{N^2+1}{M} =x_2 $
Quindi $ M+N>x_1+x_2 $, contraddicendo l'ipotesi.
Allora non resta che $ M=N $.
Quindi l'equazione iniziale diventa $ \frac{2M^2 + 1}{M^2}=k $cioè $ 2+\frac {1}{M^2}=k $. Affinchè k sia intero deve essere M$ \mid $ 1 cioè $ M=1 $.
Quindi, sostituendo, si ottiene $ k=3 $
Sia $ \frac {a^2+ b^2 + 1}{ab}=k $
Sia (M,N) la coppia di soluzioni intere positive con somma minima.
Si consideri l'equazione$ \frac{ x^2+N^2+1}{xN} =k $ ,da cui
$ x^2-kNx+N^2+1=0 $che ha una radice$ x_1=M $.
Quindi $ x_2=kN-M \Rightarrow x_2 $è un intero.
Inoltre $ x_2= \frac{N^2+1}{M} \Rightarrow x_2 $ è positivo.
$ kN-M =\frac{N^2+1}{M} \Rightarrow $ $ \frac{N^2+1}{M} $ >-M
$ \Rightarrow M>\frac{N^2+1}{M} =x_2 $
Quindi $ M+N>x_1+x_2 $, contraddicendo l'ipotesi.
Allora non resta che $ M=N $.
Quindi l'equazione iniziale diventa $ \frac{2M^2 + 1}{M^2}=k $cioè $ 2+\frac {1}{M^2}=k $. Affinchè k sia intero deve essere M$ \mid $ 1 cioè $ M=1 $.
Quindi, sostituendo, si ottiene $ k=3 $