Dimostrare che, preso n naturale >1, e a naturale >0, si ha
$ \displaystyle 1+2^a+...+(n-1)^a<\frac{n^{a+1}}{a+1}<1+2^a+...+n^a $
Disuguaglianza integrale
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donchisciotte
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allora, secondo me si può risolvere cn il metodo induttivo, ma in pratica non capisco una sega, sono qui per imparare, quindi vi espongo solo il mio metodo di ragionamento, per capire se sn recuperabile almeno un pò.
Analizzo la prima parte cioè $ 1+2^a+\cdots+(n-1)^a < \frac{n^{a+1}}{a+1} $ e la pongo vera per $ n $ quindi procedo con $ n+1 $ per comodità chiamo il primo membro della disugualianza precedente $ A $ (lo so, sono pigro) quindi avrò $ A+ n^a<\frac{(n+1)^{a+1}}{a+1} $ sviluppando il binomio$ (n+1)^{a+1} $ ottengo $ A+n^a < \frac{n^{a+1}+ a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $ quindi $ A+n^a < \frac{n^{a+1}}{a+1}+ \frac{a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $ di certo $ A< \frac{n^{a+1}}{a+1} $ quindi bisogna vedere se $ n^a <\frac{a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $
e così via...
Analizzo la prima parte cioè $ 1+2^a+\cdots+(n-1)^a < \frac{n^{a+1}}{a+1} $ e la pongo vera per $ n $ quindi procedo con $ n+1 $ per comodità chiamo il primo membro della disugualianza precedente $ A $ (lo so, sono pigro) quindi avrò $ A+ n^a<\frac{(n+1)^{a+1}}{a+1} $ sviluppando il binomio$ (n+1)^{a+1} $ ottengo $ A+n^a < \frac{n^{a+1}+ a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $ quindi $ A+n^a < \frac{n^{a+1}}{a+1}+ \frac{a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $ di certo $ A< \frac{n^{a+1}}{a+1} $ quindi bisogna vedere se $ n^a <\frac{a*n^a+ \binom{a+1}{2}n^{a-1}+\cdots+1}{a+1} $
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"Un uomo senza sogni, senza utopie, senza ideali,
sarebbe un mostruoso animale,
un cinghiale laureato in matematica pura"
(Fabrizio De André)
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donchisciotte
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scusami, il non capisco una sega, è riferito a me stesso, io nn avevo la minima intenzione di risolvere l'esercizio ma volevo sapere da voi mammasantissima del forum se l'idea di partenza era buona 
poi è logico che sottointendevo che considero la proposizione vera per n
scusami ancora
poi è logico che sottointendevo che considero la proposizione vera per nscusami ancora
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Nonno Bassotto
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pic88
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ehm.. perché? è messo in algebra per qualcosa... sì, capisco che avrei dovuto scrivere "voglio la soluzione olimpica, quella coi cannoni la conosciamo tutti; prego inoltre gli esperti di astenersi etc..." ma ormai lo davo per scontatoNonno Bassotto ha scritto:Purtroppo il titolo del thread dice un po' tutto...
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mistergiovax
