Poichè mi pare che ultimamente TDN sia stata abbondantemente trascurata(l'ultimo messaggio risale al 20 dicembre)posto questo problema del PEN che non è difficile, ma ammette una soluzione alquanto "elegante".....
$ a $ e $ b $ sono due interi nonnegativi tali che $ 2^na + b $ è un quadrato perfetto per ogni n intero nonnegativo.Dimostrare che allora necessariamente a =0.
PENnon discriminare TDN
PENnon discriminare TDN
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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sia $ {\alpha_n}^2=2^n a +b \forall n \in N $. se $ n=0 $ allora $ b={\alpha_0}^2 $. se $ n=2 $ si ha $ {\alpha_2}^2=4a+b=4a+{\alpha_0}^2 $.dalla definizione di a e b segue le definizione di $ {\alpha_0} $ e $ \alpha_2 $. se $ n=1 $ si ha $ {\alpha_1}^2=2a+b=\frac {{\alpha_2}^2-{\alpha_0}^2} {2} $ cioe $ \alpha_1=QM(\alpha_0, \alpha_2) $, assurdo dimostrato da febo qualche post fa viewtopic.php?t=9292&postdays=0&postorder=asc&start=15
e la soluzione bella?
e la soluzione bella?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
La mia soluzione: se per assurdo la tesi fosse falsa abbiamo che anche questa espressione è un quadrato perfetto $ 4(2^na + b)= (2^{n+2}a + b) + 3b $ con a intero positivo. Essendo $ 2^{n+2}a + b $ anch'esso un quadrato perfetto si avrebbe che 3b è differenza di infiniti quadrati perfetti,ovvero$ 4(2^na + b) - (2^{n+2}a + b) = 3b $ per tutti i valori di n ,che è un assurdo perchè implicherebbe che 3b ha infiniti fattori primi.Difatti l'equazionejordan ha scritto:sia $ {\alpha_n}^2=2^n a +b \forall n \in N $. se $ n=0 $ allora $ b={\alpha_0}^2 $. se $ n=2 $ si ha $ {\alpha_2}^2=4a+b=4a+{\alpha_0}^2 $.dalla definizione di a e b segue le definizione di $ {\alpha_0} $ e $ \alpha_2 $. se $ n=1 $ si ha $ {\alpha_1}^2=2a+b=\frac {{\alpha_2}^2-{\alpha_0}^2} {2} $ cioe $ \alpha_1=QM(\alpha_0, \alpha_2) $, assurdo dimostrato da febo qualche post fa viewtopic.php?t=9292&postdays=0&postorder=asc&start=15
e la soluzione bella?
$ x^2 - y ^2=3b=(x+y)(x-y) $ con b parametro intero positivo ha un numero di soluzione intere finito, in funzione del numero finito di fattori primi dell'intero 3b.Questa cosa comunque è così ovvia che una dimostrazione rigorosa è superflua ai fini di questo problema.
Comunque nel tuo primo passaggio,jordan, mi sembra ci sia un errore. Hai considerato il risultato b quando dovrebbe essere a+b difatti l'esponente 0 da risultato 1. e non 0.O il tuo è un errore di distrazione o non l'ho capita io
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
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$ 2^0=0 $
come mi sono ridotto..
la tua dimostrazione è giusta, e tanto che cisono faccio una cosa ancora piu inutile, generalizzare: $ \forall c, n \in N $ abbiamo $ (2^{2c})(2^n a+b) - (2^{2c+n}a+b)=b(2^{2c+n}-1)= $$ b \displaystyle \sum_{1\le i \le 2c+n-1}{2^i}=kost $ se c è fissato, per cui..stessa conclusione
come mi sono ridotto..
la tua dimostrazione è giusta, e tanto che cisono faccio una cosa ancora piu inutile, generalizzare: $ \forall c, n \in N $ abbiamo $ (2^{2c})(2^n a+b) - (2^{2c+n}a+b)=b(2^{2c+n}-1)= $$ b \displaystyle \sum_{1\le i \le 2c+n-1}{2^i}=kost $ se c è fissato, per cui..stessa conclusione
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Comunque davvero bella la soluzione di Carlein...
E' semplice ma non poi così intuitiva, sarà che sono alle prime armi ma a me è piaciuta...
Io ho cominciato a scarabocchiare qualcosa ma...va bè dai lasciamo stare che è meglio
E' semplice ma non poi così intuitiva, sarà che sono alle prime armi ma a me è piaciuta...
Io ho cominciato a scarabocchiare qualcosa ma...va bè dai lasciamo stare che è meglio
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui