Simbolo di Legendre + Reciprocità quadratica

[Simo_the_wolf]

Dal mio orale di strutture algebriche:

Definiamo, per ogni primo dispari:

$ \displaystyle \left( \frac ap \right) = 0,+1, -1 $

rispettivamente a seconda che $ p|a $, se esiste $ r $ con $ (r,p)=1 $ tale che $ r^2 \equiv a \pmod{p} $ (cioè se $ a $ è residuo quadratico), oppure i restanti casi ($ a $ non è residuo quadratico).

(i) Dimostrare che $ \left( \frac ap \right) \equiv a^{\frac {p-1}2 } \pmod{p} $.

(ii) Dimostrare che $ \left( \frac 2p \right) = (-1) ^{ \frac {p^2-1}8} $. L'hint è: che c'entra $ \sqrt {2} $ con $ 8 $ in $ \mathbb{C} $...

(iii)*(non chiestomi all'orale, deduzione postuma) con un metodo simile dimostrare la legge di reciprocità quadratica cioè :

$ \left( \frac qp \right) \left( \frac pq \right) = (-1)^ { \frac { (p-1)(q-1) }4 } $

(iv)* vorrei fare la stessa cosa con la reciprocità cubica cioè mi servirebbe, ad esempio, $ \sqrt[3]{2} $. Dimostrare che non lo posso fare allo stesso modo di prima

[Simo_the_wolf]

Uhm dai che secondo me quest'esercizio è veramente bellino... Su, come scrivereste $ \sqrt{2} $ se vi dico che c'entra con $ \zeta_8 $ in $ \mathbb{C} $ (ma in realtà dovunque...)??

ps se non dite niente entro una settimana poi lo risolvo io che secondo me è troppooo bello!

[Ikki]

A me sono stati fatti tutti durante un corso all'uni, quindi non mi sembra giusto postare la soluzione, in quanto non è mia...