Determinare se esiste un insieme X, formato da 2008 interi positivi distinti, tale che, per ogni sottoinsieme non vuoto $ Y \subseteq X $ la media aritmetica degli elementi di Y è una potenza perfetta.
Determinare se anche le medie geometriche possono essere rese potenze perfette.
Determinare se esiste un insieme X, formato da infiniti interi positivi distinti, tale che, per ogni sottoinsieme finito e non vuoto $ Y \subset X $ la media aritmetica degli elementi di Y è una potenza perfetta.
E' un problema che è simpatico per la dimensione dei numeri coinvolti.
Buon $ lavoro^3 $
Medie son potenze perfette [come selezionano per il WC?]
Medie son potenze perfette [come selezionano per il WC?]
Ultima modifica di Il_Russo il 17 gen 2008, 15:14, modificato 1 volta in totale.
Presidente della commissione EATO per le IGO
il primo (di conseguenza il secondo )ho avuto a lungo l'impressione di averli risolti,ma ogni volta mi sfuggiva qualcosa...invece l'ultimo mi pare di averlo risolto(però ho ancora sospetti);a voi il giudizio.
Prima asserzione:perchè la media aritmetica di qualsiasi sottoinsieme sia un'intero è necessario e sufficente che tutti gli interi appartenenti al sottoinsieme Y abbiano uguale residuo modulo la cardinalità k del sottoinsieme.Difatti poniamo due interi a e b che abbiano residui differenti(mod)k:consideriamo i due sottoinsiemi W e R costituiti rispettivamente da $ Y-a+c $ e $ Y-b+{c $
Dunque c dovrebbe avere lo stesso residuo mod k di a eb ;assurdo.
Prendiamo ora i primi due elementi di X:poichè esisterà comunque un intero k maggiore di essi,avranno rispetto a k residuo differente,poichè sono distinti.Dunque non è soddisfatto quanto si diceva prima,e esisterà un sottoinsieme Y di X con cardinalità k che non è un intero e a maggior ragione una potenza perfetta. ripeto ho dei sospetti,ma non siate troppo cattivi nel distruggermi
Prima asserzione:perchè la media aritmetica di qualsiasi sottoinsieme sia un'intero è necessario e sufficente che tutti gli interi appartenenti al sottoinsieme Y abbiano uguale residuo modulo la cardinalità k del sottoinsieme.Difatti poniamo due interi a e b che abbiano residui differenti(mod)k:consideriamo i due sottoinsiemi W e R costituiti rispettivamente da $ Y-a+c $ e $ Y-b+{c $
Dunque c dovrebbe avere lo stesso residuo mod k di a eb ;assurdo.
Prendiamo ora i primi due elementi di X:poichè esisterà comunque un intero k maggiore di essi,avranno rispetto a k residuo differente,poichè sono distinti.Dunque non è soddisfatto quanto si diceva prima,e esisterà un sottoinsieme Y di X con cardinalità k che non è un intero e a maggior ragione una potenza perfetta. ripeto ho dei sospetti,ma non siate troppo cattivi nel distruggermi
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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Il_Russo ha scritto:Secondo me è giusto. Ho avuto la stessa idea di fondo, anche se l'ho dimostrato un po' diversamente.Carlein ha scritto: -- dimostrazione punto 3 --
Ma poi sul primo se si provava a fare lo stesso ragionamento ci si trovava a ragionare su moduli e residui particolari?stava lì l'impossibilità/possibilità?perchè io non ci intravedevo molto;oppure bisognava ragionare diversamente?
p.s: @il Russo:tu invece come l'hai dimostrato il punto 3?intendo:cos'hai fatto di diverso?
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Ah,scusate l'imprecisione linguistica(ellissi di soggetto):intendo non che k non sia intero,ma che la somma degli interi appartenenti a Y,di cui k è cardinalità,non è intero.Penso che si capiva,il Russo l'ha capita,ma tanto per essere precisi.....Carlein ha scritto:e esisterà un sottoinsieme Y di X con cardinalità k che non è un intero
p.s:comunque in realtà sospetti non ne avevo,ma non ne avevo anche quando ho sbagliato la soluzione dell'ultimo post di mat ricreativa:quindi metterò sempre le mani davanti per non essere eccessivamente maltrattato...sono un pò permaloso
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Ho detto subito che esiste un n per cui non tutti gli elementi di X danno lo stesso resto modulo n (e li l'ho esibito più o meno come hai fatto tu), quindi ho concluso che esiste un Y di cardinalità n con media aritmetica non intera, ed ho descritto come creare questo Y.Carlein ha scritto:@il Russo:tu invece come l'hai dimostrato il punto 3 intendo:cos'hai fatto di diverso?
La fatina dei suggerimenti ha scritto:Visto che l'hai chiesto ti dico solo che le idee per fare l'ultimo punto e gli altri 2 sono completamente diverse, poiché da insieme finito ad infinito cambiano molte cose
Presidente della commissione EATO per le IGO