Problema con bella soluzione

[lordgauss]

Sia a un numero fissato diverso da 0. Trovare tutte le soluzioni del sistema
<BR>
<BR>{x+y+z=a
<BR>{1/x+1/y+1/z=1/a[addsig]

[jack202]

Parto dal caso standard.
<BR>Risolvere il seguente sistema in due
<BR>variabili :
<BR>
<BR>{ x+y = s
<BR>{ 1/x + 1/y =t
<BR>
<BR>{ x+y = s
<BR>{ xy = s/t
<BR>
<BR>polinomio risolvente (soluzioni simmetriche)
<BR>x^2 - sx + (s/t) = 0
<BR>
<BR>soluzioni
<BR>(x;y) = [s+-sqrt(s^2 - 4s/t)]/2
<BR>---------------------------------------
<BR>
<BR>Passando la z nella colonna costanti
<BR>e applicando pari pari il metodo
<BR>appena illustrato otteniamo che
<BR>tutte le soluzioni del tuo sistema
<BR>sono permutazioni della terna
<BR>
<BR>[ a , w, -w]
<BR>
<BR>con w numero reale diverso da 0.
<BR>Salut !
<BR>

[sprmnt21]

x+y=a-z
<BR>1/x+1/y=1/a-1/z ==>(x+y)/(xy)=(z-a)/(az) ==> xy=-az.
<BR>
<BR>
<BR>x+y=a+(-z)
<BR>x*y=a*(-z)
<BR>
<BR>Abbiamo quindi due coppie di numeri che hanno la stessa somma e lo stesso prodotto. Percio\' le due coppie, a parte l\'ordine, sono uguali.
<BR>
<BR>Cioe\' x=a e y=-z (e simmetriche).
<BR>
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
<BR>
<BR>
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<BR>
<BR>

[lordgauss]

Jack, nulla da obiettare alla tua soluzione.
<BR>Visto che però, com\'è inevitabile, un problema una volta risolto cade nell\'oblìo, voglio per questa volta postare anche la \"bella soluzione\" cui mi riferivo, che non è poi troppo dissimile dalla tua.
<BR>Poniamo s=xy+xz+yz. Allora xyz=s*a.
<BR>Allora x,y,z sono radici di
<BR>P(t)=t³-at²+st-sa. Ma si vede che a è una radice di P(t) e dunque uno fra x,y e z deve essere uguale ad a. Da x+y+z=a si evince poi che le soluzioni sono permutazione della terna (c, -c, a).
<BR>
<BR>[addsig]\"no\" a questa mia domanda?
<BR>
<BR>
<BR>-----
<BR>scusa sprmnt21, non avevo ancora visto il tuo post<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2002-01-24 21:26 ]</font>