questa invece credo che dovrebbe essere quella ufficiale (se è giusta)
se un numero complesso $ z=a+bi=|z|e^{i\alpha} $ con $ a,b \in R $ allora è vero che $ zi=(a+bi)i=b-ai=|z|e^{i(\alpha+\frac{\pi}{2})} $.
se $ z $ è una radice di $ iZ^2+Z+1 $ allora possiamo scrivere che $ |z|^2 e^{i(2\alpha+\frac{\pi}{2})} + |z|e^{i\alpha} +1=0 $. analizziamone il significato geometrico dell'equazione, trattiamo cioè i 3 addendi come 3 vettori, e scomponendo ognuno di essi in vettori "orizzontali" e "verticali" abbiamo un sistema a due equazioni in cui la somma calcolata su ciascun asse è pari al vettore nullo. ponendo $ |z|=c\ge0 $ , la prima equazione è (I)$ c^2 \cos{(2\alpha+\frac{\pi}{2})}+c\cos{\alpha}+1= - c^2 \sin {2\alpha} +c\cos{\alpha}+1=0 $ mentre la seconda (II)$ c\sin{(2\alpha+\frac{\pi}{2})}+\sin{\alpha}=c\cos{2\alpha}+\sin{\alpha}=0 $. dalla (II) ricaviamo c e sostituiamolo nella (I), e ricordando che $ {(\sin{\alpha})}^2=\frac{1-\cos{2\alpha}}{2} $, fattorizzando e raccogliendo la tangente (i conti sono facili) otteniamo $ \tan{2\alpha}=2\cos{2\alpha} $da cui cambiando tangente in rapporto e utilizzando l'identità trigonometrica fondamentale arriviamo all'equazione $ 2{(\sin{2\alpha})}^2+\sin{2\alpha}-2=0 $ da cui $ \sin{2\alpha}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4} $..
be, almeno per le tre soluzioni il risultato è sempre lo stesso..
