Da un libro del liceo

[fph]

Una prof di liceo mi ha chiesto un parere su questo esercizio trovato su un libro di testo:

Abbiamo 8 palline numerate e 6 scatole numerate. In quanti modi possiamo disporre le palline nelle scatole in modo che in ogni scatola ci sia almeno una pallina?

Secondo noi:
1 - il risultato del libro è sbagliato. Non lo riporto per non influenzarvi; qualcuno ha voglia di provare a fare i conti e vedere che risultato viene secondo lui?
2 - sebbene il posizionamento dell'esercizio sul libro lo qualifichi come "esercizio banale di combinatoria" (nel senso di "banale anche per un libro di matematica del liceo"), proprio banalerrimo non mi sembra. Facile sì, ma non fino a quel punto.

thanks in advance!

[Pigkappa]

E uffa, ho cancellato per sbaglio tutto quello che avevo scritto. Lo riscrivo brevemente. Secondo me si fa così:

1)Scelgo una pallina da mettere in ogni scatola: 8*7*6*5*4*3 (8 scelte per la prima scatola, 7 per la seconda, ...)

2)Faccio il caso con 3 palline nella stessa scatola. Scelgo in 6 modi questa scatola e ci metto le due palline. Adesso divido per 3 perchè è indifferente quale delle tre palline ho inserito all'inizio e quali dopo.

3)Faccio il caso con 2 palline in 2 scatole. Scelgo in $ \binom{6}{2} $ modi le scatole, ed in due modi quale pallina va in quale scatola. Adesso divido per 2 due volte perchè in entrambe le scatole è indifferente quale pallina ho messo all'inizio e quale dopo.

Quindi:

$ 8*7*6*5*4*3*(\frac{6}{3}+\binom{6}{2} * \frac{2}{4}) = 191520 $

[gian92]

io avevo iniziato a risolvere il problema vedendo quante combinazioni ci sono se in ogni scatola devo mettere una e una sola pallina e mi veniva un risultato maggiore di quello di pigkappa .
poi mi sono accorto che ti sei dimemticato lo 0 finale

[Pigkappa]

Non è colpa mia, ma della fisica, che mi fa sempre mettere la calcolatrice in notazione esponenziale

Modifico e aggiungo lo zero finale...

[edriv]

In generale, il numero di funzioni suriettive da {1,2,...,n} a {1,...,k} è:
$ \displaystyle \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} {k \choose i} i^n $
che per n=8,k=6 dà effettivamente il risultato di PigKappa.

[fph]

Ok, vedo che concordate con il mio risultato , quindi, bonus question: come è possibile che il testo riportasse come soluzione 25mila e rotti? C'è una possibile piccola modifica del testo che lo trasforma in un problema banale con soluzione 25.XXX?

EDIT: a proposito, edriv, ti è scappato un k-1 al posto di k-i nella formula o sbaglio?

[Bapomet]

Senza essermene accorto, ho pubblicato lo stesso problema a distanza di dieci giorni, in cui ho cercato di giustificare i calcoli del libro
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