Finalmente agli inizi dello studio in tdn...
Vorrei chiedere pareri su due cose...
Della prima sono abbastanza sicuro, questo è un lemma di una dimostrazione che ho provato a fare e mi piacerebbe sapere se è lecito.
Vogliamo dimostrare che se un numero divide due numeri successivi, questo numero deve essere 1.
Inanzitutto i numeri sono naturali.
Pertanto
$ \dispaystyle a|n $ e $ \dispaystyle a|n+1 $ implica $ \dispaystyle a=1 $
$ \dispaystyle n=ax $
$ \dispaystyle n+1=ay -> n=ay-1 $
$ \dispaystyle ax=ay-1 $
$ \dispaystyle ay-ax=1 $
$ \dispaystyle a(y-x)=1 $
Pertanto $ \dispaystyle a $ e $ \dispaystyle y-x $ devono essere multipli di 1...
Quindi i multipli di uno sono: 1
pertanto otteniamo
$ \dispaystyle a=1 $ (e ci siamo)
$ \dispaystyle y-x=1 $
$ \dispaystyle y=x+1 $
Sostituendo l'ultima nell'equazione che abbiamo scritto prima
$ \dispaystyle \\ ax=ay-1 \\ ax=(x+1)a-1 \\ ax=ax+a-1 \\ a=1 $ (e ci risiamo)
Allora...questa l'ho fatta io, ma in tdn anche le cose più ovvie non lo sono...
Quindi...bho magari ho sbagliato...
E poi questo dubbio è un pò più serio...
Si vuole dimostrare che esiste un unico modo per scomporre un numero (naturale) in prodotto di numeri primi.
Bè il mio testo dà una dimostrazione e poi afferma egli stesso che è tale dimostrazione non è poi così tanto rigorosa.
Diciamo che riassunta sarebbe:
Per assurdo
$ \dispaystyle n=pqr $
$ \dispaystyle n=p_1 q_1 r_1 $
siano $ \dispaystyle p $ diverso da $ \dispaystyle p_1 $ $ \dispaystyle q $ diverso da $ \dispaystyle q_1 $ e $ \dispaystyle r $ diverso da $ \dispaystyle r_1 $
poniamo $ \dispaystyle p $come il numero più piccolo tra $ \dispaystyle p,q,r $
poniamo $ \dispaystyle p_1 $ come il numero più piccolo tra $ \dispaystyle p_1,q_1,r_1 $
prendiamo coscienza del fatto che
$ \dispaystyle \\ n>p^2 \\ n>p_1^2 $
pertanto
$ \dispaystyle n>pp_1 $ (questo lo potete capire pensando anche ad AM-GM)
peranto si avrà che
$ \dispaystyle n-pp_1 $ sarà un numero naturale
Sappiamo che n è divisibile per $ \dispaystyle p $ e per $ \dispaystyle p_1 $
Poi certamente $ \dispaystyle pp_1 $ è divisibile per $ \dispaystyle p $ e $ \dispaystyle p_1 $
Pertanto
$ \dispaystyle n-pp_1=pp_1QR $
dove Q e R sono numeri naturali...
sviluppando
$ \dispaystyle \\ n=pp_1+pp_1QR \\ n=pp_1(1+QR) $
pertanto deduciamo che
$ \dispaystyle pp_1|n $
prendendo una delle due definizioni iniziali di n
$ \dispaystyle n=pqr $
applichiamo quello che abbiamo scoperto su n
$ \dispaystyle \\ \frac{n}{pp_1}= \frac{pqr}{pp_1} \\ \\ \frac{n}{pp_1}= \frac{qr}{p_1} $
ma sappiamo già che$ \dispaystyle \frac{n}{pp_1} $ è intero pertanto deduciamo che
$ \dispaystyle p_1|qr $
ma ciò implicherebbe che
$ \dispaystyle p_1|q $ oppure $ \dispaystyle p_1|r $
Entrambe affermazioni paradossali dato che q ed r sono primi.
Fine della dimostrazione...
Questa è la dimostrazione, ma non mi convince affatto...
Noi sapevamo dall'inizio che $ \dispaystyle p|n $ e $ \dispaystyle p_1|n $
Non potevamo fare un salto e affermare che anche $ \dispaystyle pp_1|n $?
Con questa affermazione si arriva direttamente al passaggio finale...
E comunque sia anche se fosse possibile continuerebbe a non convincermi...
Se qualcuno ha una dimostrazione migliore...posti pure...
Comunque prova a dimostrare adesso l'esistenza della scomposizione come consigliava eucla 