potenza di 2 - 1 | quadrato + 9

[edriv]

Un esercizio istruttivo che mostra tante tecniche:
trovare tutti gli interi positivi n tali che, per qualche intero m, si ha
$ \displaystyle 2^n-1 \mid m^2 + 9 $

[jordan]

credo sia una delle diofantee piu belle che abbia mai visto, complimenti edriv

comunque un suggerimento in bianco:

2^{2^k}+1 | m^2+9 ,ma non per tutti i k

good work

[monica1889]

Oddio sono proprio un po’ stupidina, ma non capisco xkè 2^2^k+1 | m^2 +9 solo per alcuni k

p|2^2^k+1==> p==1 mod 4
(-9/p)==(-1/p)==(-1)^(p-1/2)==1

Uffi non ci arrivo proprio!!!

mi potete spiegare voi cervelloni cosa sbaglio??


kiss u

[edriv]

Non capisco neanche io cosa vuol dire jordan

jordan, magari qualcuno lo risolve e vuole avere tutta l'immensa gloria che ne deriva, senza che sia scalfita da un hint, sappiamo che tu lo sai fare!

[jordan]

scusa allora...

[edriv]

Poi se non lo risolve nessuno vuol dire che un hint era proprio necessario... solo il Tempo saprà dire chi di noi due ha ragione

[piever]

Lol, va bene che è un problema vecchio, ma fa piacere sapere che anche i matematici non più giovanissimi si tengono aggiornati...

[PubTusi]

Eh, ma ormai l'ha risolto già monica
Ora non c'è più gloria per nessuno

[mattilgale]

ehi, ma questa monica scride in un modo familiare?
sei nuova del forum?

[jordan]

Vedi qui.

[Reginald]

Ci provo...Allora..il problema era$ 2^n-1|m^2+9 $
Per n=1 allora ogni m va bene
per n=2 va bene ogni m multiplo di 3

Inoltre se

$ 2^n-1|m^2+9,p|2^n-1\implies p\equiv 3\pmod 4, m^2\equiv -9\pmod p,\implies \frac{m^2}{9}^4\equiv 1\pmod p $

Ma però, dato che p è primo, la sua phi è congrua a 2 modulo 4, e l'ordine moltiplicativo non la divide. Quindi, se questi passaggi sono giusti, non va bene nessuna n e nessuna m. L'unico punto(credo e spero) che potrebbe non essere vero è $ m^2\equiv -9\pmod p\implies \frac{m^2}{9}^4\equiv 0\pmod p $. Infatti se $ p|m^2 $ (2)oppure $ p|9 $(1) non è vera la relazione. Se n è pari allora la (1) è realizzata. Vediamo cosa succede se fosse vero il caso (2):
$ pk_1|pk+9 $. Allora $ p|9 $ e si torna al caso (1).
Quindi per ora posso solo dire che (se non ho sbagliato) COME MINIMO n deve essere pari.

n=2a:$ (2^a+1)(2^a-1)|m^2+9 $. A questo punto $ 2^a-1|m^2+9 $ Per lo stesso identico ragionamento di prima a deve essere pari. E se pongo a =2l concluderei di nuovo che l deve essere pari.
Quindi posso dire che (ancora se non ho sbagliato) come minimo $ n=2^b $

Il problema diventa quindi $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $. Inoltre, se esiste un b tale che $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $, allora $ (2^{2^{b-1}}+1)(2^{2^{b-1}}-1)|m^2+9 $. Quindi se tale relazione è vera per b=12345 allora è vera per ogni b<12345...

Argh, non riesco a chiudere!!! ci penserò su..

[jordan]

Il problema diventa quindi $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $. Inoltre, se esiste un b tale che $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $, allora $ (2^{2^{b-1}}+1)(2^{2^{b-1}}-1)|m^2+9 $. Quindi se tale relazione è vera per b=12345 allora è vera per ogni b<12345...

Argh, non riesco a chiudere!!! ci penserò su..

Di solito è al contrario che funziona..
Se fino a b funziona (i.e. $ 2^{2^b}-1 \mid m_0^2+9 $) allora esiste $ m_1 $ tale che $ 2^{2^{b+1}}-1 \mid m_1^2+9 $. Nota che $ 2^{2^b}+1 \mid (3\cdot 2^{2^{b-1}})^2+9 $. Ora ti sarebbe sufficiente che $ m_1 \equiv 3\cdot 2^{2^{b-1}} \pmod{2^{2^b}+1} $ e $ m_1 \equiv m_0 \pmod{2^{2^b}-1} $, cinesino!

[dario2994]

Uhm... ma qui mi sorge un dubbio...
Edriv ha postato questo problema nel 2008... ed un problema praticamente uguale è stato dato al BST 2009 Dovevano stare più attenti. Comunque per la cronaca ecco la versione BST del problema:

Determinare tutti gli interi positivi n per cui esiste un intero positivo m tale che
$ $\frac{4^n-1}{3}|49m^2 + 1 $