exraggi uguali (da forogeometras)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

vi propongo questo semplice problemino

nella figura dimostrare che $ r_1 = r_2 $

[pingu92]

e quali sono le ipotesi

[edriv]

Interpretando la figura:
ABC un triangolo, DQP i punti in cui la circonferenza inscritta tocca i lati, E l'intersezione tra AD e la circonferenza circoscritta, $ ~ r_1,r_2 $ gli exraggi di DEB,DEC.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

up! dai che è semplice

[Pigkappa]

C'è una soluzione semplice, vero? Io mi sono incuneato in dei conti trigonometrici che forse sono quasi fattibili ma sicuramente parecchio lunghi e fastidiosi (consistenti nel calcolare direttamente i due raggi come $ BT_2 \tan \alpha_2 $ e $ BT_1 \tan \alpha_1 $ (i due T sono punti di tangenza delle circonferenze su BC, gli alfa sono gli angoli $ O_2BC $ e $ O_1CB $) e usando il fatto che $ BT_2 $ e $ CT_1 $ sono semiperimetri dei loro triangoli, ma trovare la tangente di quegli angoli è un po' lungo...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

mah in realta esiste una soluzione contosa ma neanche troppo lunga

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

questa era la mia soluzione:

chiamiamo $ AP = AQ = x $, $ BP = BD = y $, $ CD = CQ = z $ e nel triangolo $ \triangle BCE $ chiamiamo h l'altezza da E, allora

$ \displaystyle R_1 = \frac{h \cdot y}{y + BE - DE} $ e $ \displaystyle R_2 = \frac{h \cdot z}{z + CE - DE} $


$ \displaystyle R_1 = R_2 \ \Longleftrightarrow \ \frac{y}{y + BE - DE} = \frac{z}{z + CE - DE} \ \Longleftrightarrow \ $$ \displaystyle DE (y-z) = y \cdot CE - z \cdot BE \ \Longleftrightarrow $$ \displaystyle \ DE (y-z) = \frac{y \cdot DE \cdot \sin {\angle CDE}}{\sin {\angle BAE}} - \frac{z \cdot DE \cdot \sin {\angle CDE}}{\sin {\angle CAE}}\ \Longleftrightarrow $

$ \displaystyle \Longleftrightarrow \ DE (y-z) = \frac{c \cdot DE \cdot \sin {\angle CDE}}{\sin {\angle CDE}} - \frac{b \cdot DE \cdot \sin {\angle CDE}}{\sin {\angle CDE}} $$ \displaystyle \Longleftrightarrow \ y-z = c-b \ \Longleftrightarrow \ y-z = x + y - x - z \ \Longleftrightarrow \ 0 = 0 $

[Tibor Gallai]

Puoi sbrogliare gli ultimi passaggi, evitando di tirare fuori i seni (a meno che tu non sia una ragazza molto formosa, ma dubito), e scrivendo direttamente che $ y \cdot CE = c \cdot DE $ e $ z \cdot BE = b \cdot DE $, usando le similitudini tra ADB e CDE e tra ADC e BDE.