Proprietà della divisibilità

[edriv]

Dati due interi a,b diciamo che "a divide b", o "b è un multiplo di a", e scriviamo $ ~ a \mid b $ se esiste un intero c tale che $ ~ ac = b $.

- ogni intero è multiplo di 1
- 0 è multiplo di ogni intero
- vale la proprietà transitiva: $ ~ a \mid b, b \mid c $ implica $ ~ a \mid c $.

Divisibilità e grandezza dei numeri sono collegate. Valgono infatti:
- se a,b sono interi diversi da 0 e $ ~ a \mid b $, allora $ ~ |a| \le |b| $. Se a,b sono positivi, $ ~ a \le b $.
- se $ ~ a \mid b $ e $ ~ b \mid a $, allora $ ~ a = \pm b $.
- altra cosa utile: se a,b sono interi positivi distinti e $ ~ a \mid b $, allora $ ~ 2a \le b $.

Divisibilità e somma sono collegate. Valgono infatti:
- $ ~ a \mid b, a \mid c $ implica $ ~ a \mid b+c, a \mid b-c, a \mid 2b-c $, o in generale, comunque presi due interi k,l, si ha $ ~ a \mid kb + lc $.

Divisibilità e prodotto sono collegati. Valgono infatti:
- $ ~ a \mid b, c \mid d $ implica $ ~ ac \mid bd $
- $ ~ ka \mid kb $ implica $ ~ a \mid b $

Massimo comun divisore.
Dati due interi a,b diversi da 0, l'insieme degli interi che dividono sia a che b è uguale all'insieme degli interi che dividono un certo intero positivo d. Questo d è unico e si dice "massimo comun divisore" di a,b, e si scrive $ ~ d = \mbox{gcd}(a,b) $ oppure, brevemente, $ ~ d = (a,b) $.
d è l'unico intero positivo che soddisfa:
- $ ~ d \mid a $
- $ ~ d \mid b $
- per ogni intero k, $ ~ k \mid a $ e $ ~ k \mid b $ implica $ ~ k \mid d $.
Due interi a,b si dicono "coprimi" o "relativamente primi" se (a,b)=1.
È importante la proprietà:
$ ~ a \mid bc $ e $ ~ (a,b) = 1 $ implica $ ~ a \mid c $.

Minimo comune multiplo.
Dati due interi a,b diversi da 0, l'insieme degli interi che sono multipli sia di a che di b è uguale all'insieme dei multipli di un certo intero positivo m. Questo m è unico e si dice "minimo comune multiplo" di a,b, e si scrive $ ~ m = \mbox{lcm}(a,b) $ o brevemente $ ~ m = [a,b] $ (non molto usato).
m è l'unico intero positivo che soddisfa:
- $ ~ a \mid m $
- $ ~ b \mid m $
- se $ ~ a \mid k $ e $ ~ b \mid k $, allora $ ~ m \mid k $.
Relazione col massimo comun divisore:
$ ~ ab = (a,b)[a,b] $

Divisibilità e polinomi
- se a,b sono interi e P un polinomio a coefficienti interi: $ ~ a-b \mid P(a) - P(b) $

Altre?

[darkcrystal]

- altra cosa utile: se a,b sono interi positivi distinei e $ ~ a \mid b $, allora $ ~ a \le 2b $.

Mi sa che tu abbia girato un due... se correggi poi elimino questo inutile messaggio