un altro punto sulla solita retta (Exeter Point)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Dimostrare che il coniugato isogonale del punto di Gergonne del triangolo tangenziale (=il triangolo che ha per lati le tangenti al circocerchio in A,B,C) sta sulla retta di Eulero.

[edriv]

il coniugato isogonale rispetto a che triangolo?
la retta di Eulero di che triangolo?

Perchè se la risposta ad entrambi è ABC, ... cioè per carità è vero, ma ...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

già...il coniugato isognonale del punto di gergonne del triangolo tangenziale rispetto al triangolo tangenziale sta sulla linea di eulero di ABC

[edriv]

Sai che ultimamente posti problemi veramente belli??


Permettetemi di cambiare le lettere:
ABC è ora il triangolo grande, che è il tangenziale di DEF.
I è l'incentro di ABC = circocentro di DEF
MNP il mediale di DEF
G il baricentro di MNP e DEF
L il punto di Gergonne di ABC = punto di Lemoine di DEF, L' il suo coniugato isogonale in ABC
O il circocentro di ABC, O' il circocentro di MNP.

Uso il fatto che L' è un centro di similitudine di incerchio e circocerchio di ABC (era stato dato al winter camp 2007, non so se la dimostrazione c'è su questo forum: una bella dimostrazione c'è sicuro tra i video).
Resta da dimostrare che IO è la retta di Eulero di DEF.

Inverto. Invertendo nella circonferenza di centro I, ABC va in MNP, quindi il circocerchio di ABC va nel circocerchio di MNP, quindi i centri sono allineati con I. O,I,O' (e quindi anche L' con questi) sono allineati. Ma O' è il circocentro di MNP, I l'ortocentro di MNP (perchè circocentro del suo antimediale), quindi questa retta è proprio la retta di Eulero di MNP, che è la stessa di DEF. Fine.

Riassumento, sulla retta di Eulero di DEF ci stanno:
- ortocentro di DEF e MNP
- circocentro di DEF e MNP
- baricentro di DEF e MNP che coincidono
- circocentro di ABC
- il coniugato isogonale in ABC del Gergonne di ABC
- il coniugato isogonale in ABC del Nagel di ABC
Humm...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

bella edriv!