Normale Pisa \'69-\'70

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Nel piano sono dati tre punti non allineati A, B, C e la retta r perpendicolare in A al segmento AB.
 Determinare gli eventuali punti X di r tali che < AXB = < BXC.
 
 Ciao
 Sprmnt21
 PS
 Almeno 2 soluzioni geometriche pure.
 [ This message was edited by: sprmnt21 on 2002-01-24 20:39 ]

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Dopo lunghi e noiosi calcoli sono arrivato ad una soluzione; non è né bella né semplice, probabilmente ve ne sono di molto migliori, e la sua complessità tradisce la sua origine goniometrica.
 Ho controllato col Cabri per paura di aver fatto errori di calcolo ma funziona.
 
 Condizione di realtà: BC>AB
 
 Tracciamo da C l’altezza relativa ad AB, chiamiamo H il suo piede.
 
 Tracciamo la circonferenza con centro in B e raggio pari a BC, questa circonferenza interseca la retta r in due punti, chiamiamo uno di questo D
 
 Prolunghiamo la retta contenente il segmento AB e chiamiamola s
 
 Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio AB, questa interseca la retta s in B e in un altro punto che chiamiamo E
 
 Tracciamo la circonferenza di centro E e raggio pari ad AH, questa interseca s in due punti, chiamiamo K quello più vicino ad A
 
 Tracciamo la perpendicolare a s per K e chiamiamola t
 
 Tracciamo la parallela ad s per C, questa interseca t in un punto che chiamiamo F
 
 Tracciamo la circonferenza di centro F e raggio pari ad AD, questa interseca la retta t in due punti, che chiamiamo Y1 e Y2
 
 Tracciamo i segmenti BY1 e BY2
 
 Questi segmenti intersecano la retta r in due punti, X1 e X2
 
 X1 e X2 sono i punti richiesti.
 
 Spero di essermi espresso chiaramente.
 CaO (ossido di calcio)

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Io l\'ho visto così...
 
 Chiamiamo c la circonferenza che ha
 per diametro il segmento AB
 
 Chiamiamo d la circonferenza con
 centro B e raggio BC
 
 Chiamiamo D l\'intersezione tra d ed r
 
 Chiamiamo E l\'intersezione tra CD e c
 
 La retta passante per B e per E
 taglierà r nel tanto agognato punto X.
 
 Concordo con Franc sulla condizione di
 realtà. Guardacaso questo problema è
 la chiave risolutiva del mio quesito
 sul triangolo incentrico. Thx Rocco !

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao jack202!
 
 la tua soluzione somiglia a una delle due che ho trovato io. Ma non mi e\' del tutto chiaro qulache punto.
 Precisamente, quando dici:
 
 \"Chiamiamo D l\'intersezione tra d ed r \".
 Le intersezioni in generale sono due o no?
 e poi quando dici:
 
 \"Chiamiamo E l\'intersezione tra CD e c \".
 
 Come fai ad essere sicuro che CD e c si intersecano. E se si intersecano, perche\' la BE e\' la retta risolvente? Puoi dettagliare, per favore.
 
 Direi che e\' interessante discutere nel dettaglio anche le condizioni di esistenza.
 Si possono avere: due, una o nessuna soluzione a seconda della posizione reciproca dei punti dati.
 
 Ciao
 
 Sprmnt21

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Non capisco la soluzione di Jack202, non è detto che CD e c si incontrino, c’è un errore di battitura?
 
 Per la mia soluzione, ho posto inizialmente l’incognita nel segmento AX, ho trovato facilmente la tangente dell’angolo <AXB, dalla quale sono risalito al coseno, applicando due volte il teorema di Carnot ho trovato il coseno di <BCX, ho eguagliato i coseni ed ho ottenuto un’equazione mostruosa, trovato il valore di AX, dividendolo per AB ho ottenuto la tangente di <ABX, sfruttando il fatto che tangente=cateto opposto/cateto adiacente ho costruito i segmenti BK e KY in modo che il loro rapporto fosse pari alla tangente di <ABX.
 Per quanto riguarda la condizione di realtà, il delta dell’equazione presentava solo il radicale SQRT(BC^2-AB^2) quindi penso che si abbia 1 soluzione se AB=BC, nessuna se AB>BC, due altrimenti.
 
 CaO (ossido di calcio)