4 nuovi problemi

[Azarus]

geometria: (test della normale) sono assegnate tre rette parallele. dimostrare che esiste un triangolo equilatero con i vertici sulle 3 rette

[Azarus]

aritmetica: trovare tutte le soluzioni di y^3 = x^2 + 1 fra gli interi

[Azarus]

combinatoria : determinare in una partita di poker la probabilità di avere un full servito con un mazzo di 32 carte (non mi viene in mente di meglio,ho grave lacuna in combinatoria)

[Azarus]

problema difficile: in una gara a quiz si guadagna un punto per ogni risposta esatta , si perde un punto per ogni risposta sbagliata , si hanno 0 punti se non si risponde.la gara consiste in n domande e si è promossi se si totalizzano almeno k punti sapendo che il proprio livello di preparazione è p [0,1] (cioè p è la probabilità di rispondere correttamnte nel caso in cui si voglia rispondere) determinare dato n e k la strategia che massimizza la probabilità di essere promossi.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 03-02-2003 23:43 ]

[Sandro84htw]

Ciao Azarus!
<BR>
<BR>L\'unica soluzione di y^3=x^2+1 => y^3-x^2=1
<BR>dovrebbe essere (x=0 ; y=1), poichè per la congettura di Catalan le uniche potenze consecutive sono 8 e 9 (che comunque in questo caso sarebbero invertite e darebbero come risultato -1)
<BR>
<BR>Fammi sapere!

[ReKaio]

le congetture non sono il massimo da usare in una dimostrazione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>visto che è un caso più specifico di potenze consecutive ci saranno modi alternativi per dimostrarla

[XT]

Ma te li sogni di notte tutti i problemi?

[ale86]

Detto k il rapporto tra le distanze delle 2 rette esterne da quella centrale, trovo un punto su un lato di un triangolo equilatero di lato qualsiasi tale che le distanze dai 2 estremi abbiano rapporto k. Traccio la retta passante per questo punto e per il vertice opposto e le parallele a questa passanti per gli altri 2 vertici. La figura ottenuta è simile a quella cercata, quindi esiste la combinazione di un\'omotetia e una isometria che alle rette appena individuate associa le rette dell\'ipotesi.

[XT]

Complimenti ad Ale!
<BR>Comunque intanto che ci siamo vorrei una precisazione da voi: due rette che hanno tutti punti in comune (due rette coincidenti) si considerano parallele?

[DD]

geometria: sia D la maggiore delle distanze delle rette esterne dalla retta centrale. Puntiamo un compasso in un punto P della retta centrale con intersechiamo le due rette in A e B: se l\'apertura è D l\'angolo convesso APB sarà almeno 90°, se è 2D sarà al più 60°. Perciò con un\'apertura opportuna compresa tra D e 2D si potrà fare in modo che sia 60°.

[DD]

problema difficile: il concorrente deve decidere a priori quante risposte dare e vuoi sapere quante, immagino? Altrimenti (come accadrebbe in un gioco a quiz normale, ma non in un problema di matematica nonstupido) il concorrente risponde finché non fa k punti e poi si ferma

[ale86]

Grazie XT
<BR>combinatoria: nota iniziale: non ho idea di cosa sto scrivendo. Dunque: le combinazioni totali sono c(32;5). Le possibilità di fare full si trovano moltiplicando le possibilità che tre carte siano uguali e che le altre due siano uguali: 8*c(4;3)* 7*c(4;2)=1344 (8 è il numero di carte per seme, nella seconda probabilità bisogna escludere il numero della carta di cui ne ho tre)
<BR>
<BR>Alla fine: 1344/c(32;5)

[Azarus]

si DD le risposte da dare sono stabilite a priori

[XT]

Mi permetto di dire che il concorrente di quel problema é alquanto ignorante.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: XT il 04-02-2003 22:12 ]

[Biagio]

aritmetica: trovare tutte le soluzioni di y^3 = x^2 + 1 fra gli interi
<BR>
<BR>questo era l\'es. postato da Azarus, di cui penso di aver trovato la sol:
<BR>l\'eq. si può riscrivere come:
<BR>(y-1)(y^2+y+1)=x^2
<BR>supponendo che x sia primo si suddivide la sol. nei casi possibili, cioè:
<BR>(y-1)=1, (y^2+y+1)=x^2 oppure
<BR>(y-1)=x^2, (y^2+y+1)=1 oppure
<BR>(y-1)=x, (y^2+y+1)=x
<BR>da cui si ottiene l\'unica sol. y=1, x=0
<BR>supponendo che x non sia primo, x^2 può essere riscritto come (a^2)(b^2) con a, b >1
<BR>da cui i casi possibili sono:
<BR>(y-1)=1, (y^2+y+1)=(a^2)(b^2) oppure (gia analizzato)
<BR>(y-1)=(a^2)(b^2), (y^2+y+1)=1 oppure (gia analizzato)
<BR>(y-1)=a^2, (y^2+y+1)=b^2
<BR>riprendendo l\'ultimo caso si ottiene che: y=a^2 + 1 da cui:
<BR>a^4 + 3a^2 + 3=b^2
<BR>ma cio non è mai verificato poiché a^4 + 3a^2 + 3 non può mai essere un quadrato perfetto.
<BR>(Sufficente considerare i residui quadratici mod4. I quadrati hanno residui \"1\"o\"0\" mod4 ma il nostro numero (per a pari o dispari) è sempre 3 mod4, dunque non può mai essere un quadrato.(by Tassinari Luca))
<BR>dunque l\'unica sol. è per y=1, X=0
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 28-02-2003 21:24 ]