voi come lo risolvereste? (congruenze)

[julio14]

Che testo è? Cmq è probabile che sia un errore, perchè effettivamente x=46 è l'interno della parentesi, come trovato da Shade che non ha elevato all'87

[angus89]

Che testo è? Cmq è probabile che sia un errore, perchè effettivamente x=46 è l'interno della parentesi, come trovato da Shade che non ha elevato all'87

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers di davenport

Comunque dammi un pò di tempo che mi rivedo i calcoli e stabiliamo un pò chi ha ragione...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

a me viene $ x = 10 $

[julio14]

a Mathematica (il che conta già di più) viene $ x \equiv 10 \pmod {111} $

credo sia abbastanza auterovole come parere

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

a Mathematica (il che conta già di più) viene $ x \equiv 10 \pmod {111} $

credo sia abbastanza auterovole come parere

scusate non lo avevo letto

[julio14]

no ma figurati... stavo rispondendo ad angus, quando ho cliccato "rispondi" non avevi ancora scritto

[angus89]

allora...non vorrei inventare regole o proprietà sulle congruenze che non esistono, ma seguendo (interpretando?) i vostri sugerimenti mi verrebbe da ragionare un pò così

allora diciamo che il problema per ora si riduce a questo

$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 37) $

sotto suggerimento di julio14
$ \dispaystyle (102^{36} \cdot 102^{36} \cdot 102 +55)^{87} \equiv x (mod 37) $

A questo punto la questione diventa seria...
Perchè è vero che

$ \dispaystyle 102^{36} \equiv 1 (mod 37) $

Ma basta questo per fare una sostituzione e far diventare

$ \dispaystyle \\ (102^{36} \cdot 102^{36} \cdot 102 +55)^{87} \equiv x (mod 37) \\ \dispaystyle (102 +55)^{87} \equiv x (mod 37) $

a pelle penso di no quindi non vado nemmeno avanti...non sò...non mi ricordo questa proprietà (scusate l'ignoranza e il poco coraggio)

[julio14]

Eh si... finchè non dividi le congruenze si comportano normalmente: se abbiamo
$ $a\equiv b\pmod k;c\equiv d\pmod k\rightarrow a=mk+b;c=nk+d $$ \rightarrow ab=k(blablabla)+cd\rightarrow ab\equiv cd\pmod k $

[Shade]

Che testo è? Cmq è probabile che sia un errore, perchè effettivamente x=46 è l'interno della parentesi, come trovato da Shade che non ha elevato all'87

Errore mio! Me lo dicono sempre che sono distratto...

Shade...

[angus89]

Eh si... finchè non dividi le congruenze si comportano normalmente: se abbiamo
$ $a\equiv b\pmod k;c\equiv d\pmod k\rightarrow a=mk+b;c=nk+d $$ \rightarrow ab=k(blablabla)+cd\rightarrow ab\equiv cd\pmod k $

In pratica è lecito fare quello che faccio?!?!
Cioè posso lavorare a mio piacimento e sostituire residui con numeri quando lo ritengo oppurtuno?

[julio14]

Non sempre, dipende da quello che stai facendo. Per esempio 10/2 non è congruo a 1/2 mod3

[jordan]

si la cosa interessante è che puoi provare anche con le frazioni..

[angus89]

bè se è possibile fare questo allora a me verrebbe

$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x \pmod{37} $
$ \dispaystyle (102^{36} \cdot 102^{36} \cdot 102 +55)^{87} \equiv x {37} $

$ \dispaystyle \\ (102 +55)^{87} \equiv x \pmod{37} \\ 157^{87} \equiv x \pmod{37} \\ 157^{15} \equiv x \pmod{37} $

Si rivcava che $ \dispaystyle \\ 157 \equiv 9 \pmod{37} $

Pertanto
$ \dispaystyle \\ 9^{15} \equiv x \pmod{37}\\ 9^{3} \cdot 9^{5} \equiv x \pmod{37}\\ 26 \cdot 34 \equiv x \pmod{37}\\ x \equiv 33 \pmod{37}\\ $

Come la mettiamo?
Fatto qualche cavolata (so che l'ho fatta)

[julio14]

Fatto qualche cavolata (so che l'ho fatta)

In effetti... $ 9^{15} $ non è esattamente uguale a $ 9^5\cdot 9^3 $...

[angus89]

Fatto qualche cavolata (so che l'ho fatta)

In effetti... $ 9^{15} $ non è esattamente uguale a $ 9^5\cdot 9^3 $...

caspita...dai sono le 10 e fin ora ho studiato latino...

ora correggo....