Spazi L^p e norme

[Ani-sama]

Abbastanza facile, credo, però non è malaccio. Sia $ B $ un insieme misurabile (misura di Lebesgue). Sia poi $ f: B \rightarrow \mathbb{R} $ una funzione tale che $ f \in L^1(B) \cap L^{\infty}(B) $. Allora $ f \in L^p(B) $ per ogni $ p \in (1,+\infty) $, e vale anche che $ \displaystyle \lim_{p \rightarrow +\infty} \| f \|_p = \| f \|_{\infty} $.

[Simo_the_wolf]

Chiamando $ A= \left\{ x \in B, |f(x)| \geq 1 \left\} $ avremo che $ A $ è misurabile e per Markov $ \mu (A) = \alpha < +\infty $. Ora avremo che:

$ \displaystyle \int_B |f| ^p d\mu = \int_A |f|^p d \mu + \int_{ B / A} |f|^p d \mu $

Ora avremo che, poichè $ |f| \leq \| f\|_{\infty} $ quasi ovunque:

$ \displaystyle \int_A |f|^p d \mu \leq \int_A \| f\|_{\infty} ^p d \mu = \mu (A) \| f\|_{\infty} ^p $

mentre per l'altra parte, per come abbiamo scelto $ A $ nel suo complementare varrà $ |f| <1 $ e quindi $ |f|^p \leq |f| $ se $ p<1 $. Quindi

$ \displaystyle \int_{ B / A} |f|^p d \mu \leq \int_{ B/ A} |f| d \mu \leq \|f \|_1 $
In definitiva
$ \displaystyle \int_B |f| ^p d\mu \leq \mu (A)\|f \|_\infty^p + \|f \|_1 < + \infty $

Quindi $ f \in L^p(A) $

Inoltre otteniamo che $ \limsup _{p \to + \infty} \| f \|_p \leq \|f \|_\infty $

sia ora $ L = \liminf_{ p \to \infty } \| f \|_p $
Per Markov inoltre otteniamo che
$ \displaystyle \mu( \left\{ f \geq L+ \varepsilon \right\} ) \leq \left( \frac { \| f \|_p }{L+ \varepsilon} \right)^p \to 0 $
prendendo un'opportuna sottosuccessione di $ p $ che tende al liminf.

Ora quindi abbiamo che $ \| f \|_{\infty} \leq L+ \varepsilon $. Per l'arbitrarietà di $ \varepsilon $ otteniamo:

$ \limsup _{p \to + \infty} \| f \|_p \leq \|f \|_\infty \leq \liminf _{p \to + \infty} \| f \|_p $

da cui anche il secondo punto.