Mai uguali in quell'intervallo!

[enomis_costa88]

A è il più piccolo insieme di polinomi tali che:
1) p(x)= x appartiene ad A
2) se r(x) appartiene ad A allora:
xr(x) e x+(1-x)r(x) appartengono entrambi ad A.

Dimostrare che se g(x) e s(x) sono due elementi di A allora g(x) $ \not= $s(x) per 0<x<1.

Buon lavoro!

[darkcrystal]

Rispolvero questo vecchio thread con solo uno schizzo, ma le idee dovrebbero esserci tutte.

Per ogni polinomio p(x) tranne l'identità in quell'insieme vale $ 0=p(0) < p(x) \neq x < p(1) = 1 $ per ogni $ x \in (0,1) $ (si mostra abbastanza facilmente per una sorta di induzione sul grado: infatti se vale per p(x), vale anche per $ xp(x) $ e per $ (1-x)p(x)+x $)

Supponiamo allora esista $ a \in (0,1) $, $ g(x), h(x) \in A $ t.c. g(a)=h(a). Se c'è possibilità di scelta (cioè, più di un a o più di una coppia di polinomi) prendiamo la coppia di polinomi che minimizza la somma dei gradi.

Se uno dei polinomi è $ g(x)=x $, si ha un assurdo perchè abbiamo detto che $ h(x) \neq x $.
Se entrambi sono del tipo $ g(x)=xj(x) $ e $ h(x)=xk(x) $ per opportuni j e k in A, allora abbiamo uguaglianza fra due polinomi di grado più basso $ j(a)=k(a) $, contro l'ipotesi di minimalità.

Se infine $ g(x)=xj(x)<x $ e $ h(x)=(1-x)k(x)+x > x $ abbiamo ancora un assurdo.

Dunque in effetti non esiste una coppia di polinomi in A e un $ a \in (0,1) $per cui $ g(a)=h(a) $, c.v.d.

Ciao!