Ciao
p.s:le riflessioni sul grafico sono carine perchè si rappresentano grafici di funzioni stranote come casi particolari di più generali grafici malati...che secondo me è una figata
Funzioni composte periodiche
Funzioni composte periodiche
Apprendendo i rudimenti della trigonometria mi sono posto un quesito che mi ha consentito di non apprendere i rudimenti di trigonometria per impazzare in cose di teoria che manco conosco quindi mi appello a voi sapienti universitari(o chi per essi) per vedere se ho ragionato bene(ovviamente posterò il ragionamento dopo qualche risposta) : Data una funzione periodica f(x) trovare tutte le funzioni g (x) tali che f(g(x)) sia ancora periodica. Ora poichè anche l'occhio vuole la sua parte ci si può chiedere quale andamento deve seguire il grafico di tale g (x)? Per giustificare la conclusione ho usato cose su vettori e traslazioni che conosco per sentito dire e potenza del continuo e numerabilità di cui conosco appena i rudimenti e i teoremi più famosi..perciò questo post andava forse bene pure in glossario di base , però il problema c'è quindi ho pensato che qui pure sta bene...spero che i moderatori concordino e che il fatto non sia una banalità...in tal caso invece aspetto che il topic sia chiuso...
Ciao
p.s:le riflessioni sul grafico sono carine perchè si rappresentano grafici di funzioni stranote come casi particolari di più generali grafici malati...che secondo me è una figata
Ciao
p.s:le riflessioni sul grafico sono carine perchè si rappresentano grafici di funzioni stranote come casi particolari di più generali grafici malati...che secondo me è una figata
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
(premetto di essere stato avvantaggiato in termini di tempo, e che quando a prima vista ho letto il quesito ho dato una risposta non esatta, e peraltro sono insicuro anche di questa, aspetto pareri dai piu esperti in materia..)
il problema è "data f periodica trovare condizioni necessarie e sufficienti su g tali che f(g) sia anch'essa periodica".
siano f e g dai reali sui reali.
non si è fatta nessuna ipotesi sulla continuità di f ( ne tantomeno di g); peraltro sappiamo che esiste $ T_0 \in R^+ $ tale che $ f(x)=f(x+T_0), \forall x \in D_f $ (dove $ D_f $ è il dominio di f). non è fatta alcuna ipotesi nemmeno sulla invertibilità di f in un intervallo $ [\phi, \phi+T_0] \in D_f $ (supposto che esista altrimenti sarebbe vana anche l'ipotesi di periodicità ).
fatte queste premesse, consideriamo l'insieme S dei reali tali che $ S=\{(\lambda_2-\lambda_1) | \lambda_{1,2}\in D_f, \phi \le \lambda_1 < \lambda_2 < T_0+\phi, f(\lambda_1)=f(\lambda_2)\} $ allora per ipotesi abbiamo che:
$ f(g(x))=f(g(x)+nT_0)=f(g(x+T_1)), $$ \forall x \in D_g \in D_f, T_1 \in R^+,\forall n \in N $, quindi possiamo imporre che:
$ g(x)+nT_0=\lambda_1+aT_0, a \in N $ e
$ g(x+T_1)=\lambda_2+bT_0,b\in N $ da cui la relazione che vale $ \forall x \in D_g \in D_f $:
$ \displaystyle g(x+T_1)-g(x)=kost=\pm s_i + kT_0, k=(b+n-a)\in N, s_i \in S $.
notiamo che se S fosse vuoto allora la soluzione sarebbe quasi banale (seppur dobbiamo fare le dovute limitazioni coi relativi domini), inoltre è interessante notare che se f e g fossero continue e se l'insieme S contenesse almeno tutti i reali da 0 a $ \frac{T_0}{2} $(incluso) allora potremmo concludere con tutte le funzioni g tali che $ g(x+T_1)-g(x)=r, r \in R $
bye
il problema è "data f periodica trovare condizioni necessarie e sufficienti su g tali che f(g) sia anch'essa periodica".
siano f e g dai reali sui reali.
non si è fatta nessuna ipotesi sulla continuità di f ( ne tantomeno di g); peraltro sappiamo che esiste $ T_0 \in R^+ $ tale che $ f(x)=f(x+T_0), \forall x \in D_f $ (dove $ D_f $ è il dominio di f). non è fatta alcuna ipotesi nemmeno sulla invertibilità di f in un intervallo $ [\phi, \phi+T_0] \in D_f $ (supposto che esista altrimenti sarebbe vana anche l'ipotesi di periodicità
).fatte queste premesse, consideriamo l'insieme S dei reali tali che $ S=\{(\lambda_2-\lambda_1) | \lambda_{1,2}\in D_f, \phi \le \lambda_1 < \lambda_2 < T_0+\phi, f(\lambda_1)=f(\lambda_2)\} $ allora per ipotesi abbiamo che:
$ f(g(x))=f(g(x)+nT_0)=f(g(x+T_1)), $$ \forall x \in D_g \in D_f, T_1 \in R^+,\forall n \in N $, quindi possiamo imporre che:
$ g(x)+nT_0=\lambda_1+aT_0, a \in N $ e
$ g(x+T_1)=\lambda_2+bT_0,b\in N $ da cui la relazione che vale $ \forall x \in D_g \in D_f $:
$ \displaystyle g(x+T_1)-g(x)=kost=\pm s_i + kT_0, k=(b+n-a)\in N, s_i \in S $.
notiamo che se S fosse vuoto allora la soluzione sarebbe quasi banale (seppur dobbiamo fare le dovute limitazioni coi relativi domini), inoltre è interessante notare che se f e g fossero continue e se l'insieme S contenesse almeno tutti i reali da 0 a $ \frac{T_0}{2} $(incluso) allora potremmo concludere con tutte le funzioni g tali che $ g(x+T_1)-g(x)=r, r \in R $
bye
The only goal of science is the honor of the human spirit.