2008 exam entrance tokyo, problem 4

[jordan]

$ \forall p \in N $ definiamo le successioni $ \{a_n\},\{b_n\} $ come:

i) $ a_1=p $
ii) $ b_1=p+1 $
iii) $ a_{n+1}=a_n+p b_n, \forall n \in N $
iv) $ b_{n+1}=p a_n + (p+1)b_n, \forall n \in N $.

A) Dimostrare che entrambi i seguenti numeri sono divisibili per $ p^3 $: $ \displaystyle a_n-\frac{n(n-1)}{2}p^2-np , b_n - n(n-1)p^2 - np - 1 $.

B) Dimostrare che per ogni $ p\ge3 $ dispari si ha che $ a_p $ è divisibile per $ p^2 $ ma non per $ p^3 $.

[darkcrystal]

Nessuno? Dai, basta

scrivere le due relazioni come successioni a due termini... e poi dire "beh, è vero per n=1,2... verrà per induzione?". Inoltre il punto b segue abbastanza immediatamente dall'a...

Ciau