Risolvo la diofantea x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz proposta da azarus in “proposta indecente”.
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<BR>Incominciamo a vedere se x,y,z devono essere pari o dispari.
<BR>Se fossero tutti dispari, allora il primo membro sarebbe dispari, mentre il secondo pari, il che è impossibile.
<BR>Se fossero due pari e uno dispari, allora il primo membro sarebbe dispari, mentre il secondo pari, ed anche ciò è impossibile.
<BR>Se fossero due dispari ed uno pari allora il primo membro sarebbe pari, ed il secondo pari, il che è possibile.
<BR>Se fossero tutti pari, sia il primo che il secondo membro sarebbero pari, e ciò è possibile.
<BR>Analizziamo dapprima il caso in cui x,y,z siano positivi.
<BR>Allora poniamo x=2a, y=2b, z=2c, e sostituendo si avrebbe 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 =16abc e dividendo ambo i membri dell’equazione per 4 avremo che a^2 + b^2 + c^2 = 4abc, ma tale metodo si potrebbe usare all’infinito (infatti anche a,b,c dovrebbero essere tutti pari), e ciò implica (almeno credo) che x,y,z non possono essere tutti pari.
<BR>Analizziamo il caso in cui due incognite sono dispari ed una pari. Poiché non so proprio niente sulle congruenze userò un metodo casereccio. Siano x e y i numeri dispari e z quello pari.
<BR>Allora sia x=y per valori minimi, cioè x=y=1 e z anch’ esso minimo, cioè z=2.
<BR>Osserviamo che il primo membro è maggiore del secondo. Diamo ora a x,y,z valori maggiori del tipo x=3 y=3 z=2, otteniamo che il primo membro è minore del secondo. Poi se x=1 y=3 e z=2, il primo membro è maggiore del secondo. Concludo quindi che non ci sono numeri positivi che risolvono l’equazione. Mi spiego meglio: dando a x,y,z valori minimi ottengo un assurdo, dando poi un valore leggermente superiore ottengo sempre un assurdo, in cui il primo membro è però minore del secondo. Ora il primo membro è sempre minore del secondo salvo in caso in cui x=1 y=1 z=2 et x=1 y=3 z=2.
<BR>Ora x,y,z posso essere entrambi uguali a zero, ma devono essere necessariamente entrambi uguali a zero, altrimenti l’equazione sarebbe impossibile. Voglio dire che o sono tutti uguali a zero oppure l’equazione non ha soluzioni, perché se uno o due fossero uguali a zero avremmo un assurdo.
<BR>Quindi in Z l’unica terna possibile è (0,0,0).
<BR>Non fucilatemi per il modo in cui ho dimostrato che i numeri non possono essere due dispari ed uno pari.
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Per Azarus
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massiminozippy
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Forse perchè mai nessuno mi ha insegnato come si risolvono le diofantee, e forse perchè nn conosco nulla sulle congruenze.....tu come faresti per dimostrare che nn possono esserci due numeri dispari e uno pari???????<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: massiminozippy il 02-02-2003 21:37 ]
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Davide_Grossi
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Il fatto dell\'orologio è per far capire che anche a 4/5 aani usiamo le congruenze: 11 + 3 = 14 == 2 mod 12. Un bambino dice che sono le 14, ma dice anche, senza battere ciglio, che sono le 2.
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<BR>Quante cose che si potrebbero insegnare, ma si lasciano perdere. E pensare che proprio oggi mia mamma, che lavora in segreteria, mi ha riferito di una - se permettete, sedicente - maestra che non riusciva a spiegare agli alunni di 5° elementare la storiella su peso netto, lordo e tara.
<BR>Ecco perchè non si spiegano le congruenze. Meglio così.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 05-02-2003 22:42 ]
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<BR>Quante cose che si potrebbero insegnare, ma si lasciano perdere. E pensare che proprio oggi mia mamma, che lavora in segreteria, mi ha riferito di una - se permettete, sedicente - maestra che non riusciva a spiegare agli alunni di 5° elementare la storiella su peso netto, lordo e tara.
<BR>Ecco perchè non si spiegano le congruenze. Meglio così.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 05-02-2003 22:42 ]
Davide Grossi