sia assegnati 6 numeri reali tali che:
i) $ \sum_{i=1}^{6}{x_i^2}=6 $
ii) $ \sum_{i=1}^{6}{x_i}=0 $
Dimostrare allora che $ \displaystyle -1 \le \prod_{i=1}^{6}{x_i} \le \frac{1}{2} $
a me non è risultato proprio immediato,comunque se non ricordo male un esercizio del genere è stato anche a qualche preimo recente, quindi (se per caso vi stesse venendo in mente lagrange) esiste anche la soluzione olimpica..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Niente robe strane... sia $ \displaystyle K=\sum \frac{|x_i|}{2} $ (di modo che la somma degli x_i positivi è uguale a K, esattamente come il modulo della somma dei negativi) e P il numero degli x_i positivi.
Usiamo la tecnica (credo) 12 delle Schede: generalizziamo. Poniamoci il problema nella condizione più debole $ \sum x_i^2 \leq 6 $. Fissato K, il massimo del prodotto (in modulo) si ha se tutti i negativi sono uguali fra loro e tutti i positivi tra loro (semplice applicazione delle medie); d'altra parte, scegliendo, al posto degli x_i di partenza, P termini uguali a $ \frac{K}{P} $ e (6-P) termini uguali a $ -\frac{K}{P-6} $ la somma dei quadrati diminuisce, la somma resta 0, quindi stiamo ancora nelle ipotesi, mentre il prodotto è aumentato, per cui il massimo del modulo del prodotto è quello che si ottiene in questo caso: $ (\frac{K}{P})^P \cdot (\frac{K}{6-P})^{6-P} = K^6 \cdot P^{-P} \cdot (6-P)^{P-6} $
Ora, chiaramente possiamo fare in modo che P=1,2,o 3 (P=0 è assurdo; se P è 4 o più cambio tutti i segni)
D'altra parte vale $ P(K/P)^2+(6-P)(\frac{K}{6-P})^2 \leq 6 \Rightarrow K^2 \leq P(6-P) $, dunque il max del modulo del prodotto è dato da $ K^6P^{-P}(6-P)^{P-6} \leq (P(6-P))^3P^{-P}(6-P)^{P-6} = $$ P^{3-P} (6-P)^{P-3} $.
Per P=1,2,3 questa dà $ 5^{-2}, 1/2 $ e 1. Dato che da P abbiamo anche le informazioni sul segno, abbiamo finito (e non sarebbe difficile ricavare il caso di uguaglianza per P=2, che però coinvolge delle radici e non ho voglia di scrivere)
Ciau!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
