Non so' quanto sia noto ma sembrerebbe piuttosto complesso...
Sia ABCD un quadrilatero ciclico e E l'intersezione delle diagonali. Dimostrare che le rette di eulero di $ \triangle ABE $, $ \triangle BCE $, $ \triangle CDE $ e $ \triangle DAE $ concorrono!
quadrilatero ciclico e rette di eulero concorrenti!
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Uff ... vediamo di fare parte del lavoro ... diciamo che dò una soluzione da completare ... un po' tipo gli aiutini degli stages, oppure le soluzioni di piever ai test finali dei medesimi.
1) Gli assi di EA, EB, EC, ED delimitano un parallelogramma i cui vertici sono i circocentri dei quattro triangoli coinvolti. (facile)
2) Le perpendicolari da A e C su BD e le perpendicolari da B e D su AC delimitano un altro parallelogramma (con gli angoli uguali a quelli del parallelogramma del punto 1) i cui vertici sono gli ortocentri dei quattro triangoli. (facile)
3) Sia $ PQR $ un triangolo e sia $ X $ un punto su $ PQ $; il rapporto tra la distanza tra gli ortocentri di $ PXR $ e $ XQR $ e la distanza tra i circocentri degli stessi dipende solo dal coseno dell'angolo $ \angle PXR $. (standard trig)
4) I due parallelogrammi di cui ai punti 1 e 2 sono simili. Chiamiamoli $ O_1O_2O_3O_4 $ e $ H_1H_2H_3H_4 $ nel modo ovvio. (conseguenza facile dei precedenti)
5) Si ha che $ O_1H_3,\ O_2H_4,\ O_3H_1,\ O_4H_2 $ concorrono in E. (qui serve la ciclicità; angle chasing)
6) I due parallelogrammi sono simili, hanno i lati paralleli e vale la concorrenza del punto 5; allora vale anche la concorrenza di $ O_iH_i $ per i=1,2,3,4. Ovvero, la tesi. (questo è un po' intricato ma non troppo, ricordando desargues).
Ovviamente ora sarebbe carino che qualcuno con più tempo di me (e più voglia) si mettesse a risolvere almeno qualcuno di questi punti, almeno i punti 3,5,6 che sono i meno ovvi.
1) Gli assi di EA, EB, EC, ED delimitano un parallelogramma i cui vertici sono i circocentri dei quattro triangoli coinvolti. (facile)
2) Le perpendicolari da A e C su BD e le perpendicolari da B e D su AC delimitano un altro parallelogramma (con gli angoli uguali a quelli del parallelogramma del punto 1) i cui vertici sono gli ortocentri dei quattro triangoli. (facile)
3) Sia $ PQR $ un triangolo e sia $ X $ un punto su $ PQ $; il rapporto tra la distanza tra gli ortocentri di $ PXR $ e $ XQR $ e la distanza tra i circocentri degli stessi dipende solo dal coseno dell'angolo $ \angle PXR $. (standard trig)
4) I due parallelogrammi di cui ai punti 1 e 2 sono simili. Chiamiamoli $ O_1O_2O_3O_4 $ e $ H_1H_2H_3H_4 $ nel modo ovvio. (conseguenza facile dei precedenti)
5) Si ha che $ O_1H_3,\ O_2H_4,\ O_3H_1,\ O_4H_2 $ concorrono in E. (qui serve la ciclicità; angle chasing)
6) I due parallelogrammi sono simili, hanno i lati paralleli e vale la concorrenza del punto 5; allora vale anche la concorrenza di $ O_iH_i $ per i=1,2,3,4. Ovvero, la tesi. (questo è un po' intricato ma non troppo, ricordando desargues).
Ovviamente ora sarebbe carino che qualcuno con più tempo di me (e più voglia) si mettesse a risolvere almeno qualcuno di questi punti, almeno i punti 3,5,6 che sono i meno ovvi.