non dovrebbe essere molto impegnativo

[Duilio]

Una successione è così definita:
<BR>x_1 = 3
<BR>x_(n+1) = (x_n)^2 – 2 laddove n>=1
<BR>Si dimostri che due elementi distinti della successione sono sempre primi fra loro.
<BR>

[jack202]

Innanzitutto osserviamo che
<BR>
<BR>a[n] = a[n+1] mod 2
<BR>
<BR>dunque TUTTI i termini della successione
<BR>sono dispari. Inoltre
<BR>
<BR>a[n+1] = a2[n] - 2
<BR>a[n+2] = a4[n] - 4a2[n] + 4
<BR>a[n+3] = a8[n]-8a6[n]+32a4[n]-32a2[n]+16
<BR>...
<BR>
<BR>anche senza sciogliere la ricorsione è
<BR>facile verificare (basta guardare i
<BR>coefficienti di grado 0 dei precedenti
<BR>polinomi in a[n]) che
<BR>
<BR>MCD( a[n+m] ; a[n] ) =
<BR>MCD( a[n] ; 2^m )
<BR>
<BR>ma a[n] è dispari, dunque
<BR>
<BR>MCD( a[x] ; a[y] ) = 1
<BR>cvd
<BR>

[lordgauss]

Tutti i termini sono dispari. Sia x_i un generico termine. Allora
<BR>x_(i+1)==-2 mod x_i
<BR>x_(i+2)==2 mod x_i
<BR>x_(i+3)==2 mod x_i
<BR>... e così via.
<BR>Dunque per ogni i, tutti i termini maggiori di x_i sono primi con x_i: ciò prova la tesi.