probabilità e numeri reali
probabilità e numeri reali
Qual è la probabilità che, presi a caso due numeri reali compresi tra 0 e n, la loro somma sia minore o uguale a m (con m<n)? E se ne prendo 3?
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
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g(n)
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Siano $ x,y $ i due reali. Identificando ogni coppia $ (x,y) $ di reali con un punto del piano cartesiano, la condizione $ x+y<m $ identifica la porzione di piano compresa tra gli assi e la retta $ x+y=m $. La condizione $ x,y<n $ identifica il quadrato di lato $ n $, con un vertice nell'origine e i lati paralleli agli assi.
La probabilità è quindi $ \frac{Area triangolo}{Area quadrato}=\frac{m^2}{2n^2} $.
Nel caso di 3 numeri $ x,y,z $ si fa lo stesso discorso nello spazio. La probabilità diventa quindi il rapporto fra il volume di una piramide delimitata dai piani $ x=0,y=0,z=0,x+y+z=m $ e il volume di un cubo di lato $ n $, e risulta uguale a $ \frac{1/3\frac{m^2}{2}m}{n^3}=\frac{m^3}{6n^3} $.
Con $ k $ coppie la probabilità dovrebbe essere $ \frac{m^k}{k!n^k} $.
Ho notato che si poteva fare anche in un altro modo: prima esprimendo le coppie di interi che soddisfano $ x+y<m $ in funzione di $ m $ e poi facendo tendere $ m $ all'infinito. Questo non so quanto sia ortodosso, però traduce il fatto di avere infiniti numeri reali tra 0 ed n e dovrebbe valere anche per tre o più numeri
Qualcuno può darmi un parere su questo?
La probabilità è quindi $ \frac{Area triangolo}{Area quadrato}=\frac{m^2}{2n^2} $.
Nel caso di 3 numeri $ x,y,z $ si fa lo stesso discorso nello spazio. La probabilità diventa quindi il rapporto fra il volume di una piramide delimitata dai piani $ x=0,y=0,z=0,x+y+z=m $ e il volume di un cubo di lato $ n $, e risulta uguale a $ \frac{1/3\frac{m^2}{2}m}{n^3}=\frac{m^3}{6n^3} $.
Con $ k $ coppie la probabilità dovrebbe essere $ \frac{m^k}{k!n^k} $.
Ho notato che si poteva fare anche in un altro modo: prima esprimendo le coppie di interi che soddisfano $ x+y<m $ in funzione di $ m $ e poi facendo tendere $ m $ all'infinito. Questo non so quanto sia ortodosso, però traduce il fatto di avere infiniti numeri reali tra 0 ed n e dovrebbe valere anche per tre o più numeri
Qualcuno può darmi un parere su questo?