I primi lo fanno a pezzi o è intero? Livello 2

[EUCLA]

Trovare tutti gli interi positivi della forma $ \displaystyle \frac{2^p+2^q}{pq} $, con $ p,q $ primi.


Se pensi che questo problema sia troppo difficile, guarda qui.

[pa]

premetto che non lo so finire perche' di teoria dei numeri sono una scarpa...
facciamo tre casi: p=q; q = 2; q != 2.
1) $ \frac{2^{p+1}}{p^2} => 2^{p+1} = kp^2 $
visto che l'intero al primo membro ha solo fattori due p = 2 (e q = 2).
2)$ 2^p + 4 = 2kp $
$ 2^{p} + 4 = jp $ cambiamo la costante
siccome il secondo membro e' congruo a 0 mod p e $ 2^p $ e' congruo a 2 mod p si ha 6 concruo a 0 mod p => p = 3 U p = 2 verificate entrambe.
3)poniamo q < p
$ 2^p = kpq - 2^q $
quindi $ 2^q $ e' congruo a -2 mod p e
$ 2^p $ e' congruo a -2 mod q.
basta mi fermo qui e vado a studire tanto voi lo finirete subito immagino!

[Alex89]

Provo... Escludiamo le soluzioni (3,2) e (2,2) e consideriamo quelle di primi dispari distinti (al resto ha pensato pa )
$ pq|2^p+2^q $

Allora $ 2^q +2 \equiv 0 \pmod p $ e $ 2^{q-1}+1 \equiv 0 \pmod p $
Da cui $ ord_p(2)|2(q-1) $ ma $ ord_p(2) $ non divide (cercasi simbolo latex appropriato) $ q-1 $. Allora sia $ q=2^xz_1+1 $con $ z_1 $dispari.Allora $ ord_p(2)=2^{x+1}z_2 $ con $ z_2|z_1 $. Poichè $ ord_p(2)|p-1 $
avremo che $ p=2^{x+1}z_3+1 $ con $ z_2|z_3 $.
Eseguendo lo stesso ragionamento modulo q avremo che se $ p=2^{x+1}z_3+1 $ allora $ q=2^{x+2}z_4+1 $ che è in contrasto con l'ipotesi.

Mi scuso per le troppe variabili...

[darkcrystal]

Codice: Seleziona tutto

b \nmid a

$ b \nmid a $

(Comunque questa è un'ottima lista: http://www.cs.unm.edu/~bandrews/latex/symbols-a4.pdf)

[edriv]

Giusto per completezza aggiungo il link all'altra volta che era stato postato:
viewtopic.php?t=8269