Non riesco a sviluppare la seguente:
f(z)=1/(z(z+2)^2)
nel'intorno del punto z=-2
Ho provato negli unici due modi che mi sono stati malamente insegnati:
1)usare lo sviluppo in serie di potenze " classico" cercando la serie di taylor e poi giocano con gli indici per rendere la serie ottenuta bilatera. Ma resta il problema di come valurare le derivate n-esime in z=-2
2) tentare disperatamente di ottenere qualcosa che sia anche lontanamente riconducibile a una serie geometrica di ragione minore di uno.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi e chiedo scusa per il disturbo.
Serie di Laurent
Se la vuoi sviluppare in z=-2, evidentemente il termine generico sarà $ (z+2)^k $.
Poi, $ g(z)=1/z $ è olomorfa in $ z=-2 $ e dunque la sua serie di Laurant avrà solo termini positivi, per cui basta calcolare
$ g^{(n)}(z)=(-1)^n\dfrac{n!}{z^{n+1}} $
da cui
$ g^{(n)}(-2)=-\dfrac{n!}{2^{n+1}} $
E dunque
$ f(z)=(z+2)^{-2}\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty(z+2)^n\left(-\dfrac{n!}{2^{n+1}}\dfrac{1}{n!}\right)} $
ovvero
$ f(z)=-(z+2)^{-2}\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(z+2)^n}{2^{n+1}}} $
dunque, più esplicitamente,
$ f(z)=-\dfrac{1}{2(z+2)^2}-\dfrac{1}{4(z+2)}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{z+2}{16}-\dfrac{(z+2)^2}{32}-\ldots $
Poi, $ g(z)=1/z $ è olomorfa in $ z=-2 $ e dunque la sua serie di Laurant avrà solo termini positivi, per cui basta calcolare
$ g^{(n)}(z)=(-1)^n\dfrac{n!}{z^{n+1}} $
da cui
$ g^{(n)}(-2)=-\dfrac{n!}{2^{n+1}} $
E dunque
$ f(z)=(z+2)^{-2}\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty(z+2)^n\left(-\dfrac{n!}{2^{n+1}}\dfrac{1}{n!}\right)} $
ovvero
$ f(z)=-(z+2)^{-2}\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(z+2)^n}{2^{n+1}}} $
dunque, più esplicitamente,
$ f(z)=-\dfrac{1}{2(z+2)^2}-\dfrac{1}{4(z+2)}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{z+2}{16}-\dfrac{(z+2)^2}{32}-\ldots $
Grazie tante , mi hai fatto capire più tu con questo replay che la prof con 3 ore di lezione.
Comunque non sono sicuro di aver capito il passaggio dopo " e dunque", dopo che hai rimesso nella funzione il termine sviluppato di g(z).
Hai fatto semplicemente lo sviluppo in serie di taylor di g(z) e lo hai moltiplicato per (z+2)^-2 , giusto?
Comunque non sono sicuro di aver capito il passaggio dopo " e dunque", dopo che hai rimesso nella funzione il termine sviluppato di g(z).
Hai fatto semplicemente lo sviluppo in serie di taylor di g(z) e lo hai moltiplicato per (z+2)^-2 , giusto?
Sì ... praticamente, puoi vedere la tua funzione come il prodotto di altre due:
una è $ h(z)=\dfrac{1}{(z+2)^2} $ che è meromorfa in z=-2 (ha una singolarità in z=-2) e che fortunatamente è già in pratica sviluppata in serie con centro z=-2.
l'altra è $ g(z)=\dfrac{1}{z} $ che è olomorfa in z=-2.
Basta scrivere lo sviluppo della seconda e moltiplicarli tra loro.
una è $ h(z)=\dfrac{1}{(z+2)^2} $ che è meromorfa in z=-2 (ha una singolarità in z=-2) e che fortunatamente è già in pratica sviluppata in serie con centro z=-2.
l'altra è $ g(z)=\dfrac{1}{z} $ che è olomorfa in z=-2.
Basta scrivere lo sviluppo della seconda e moltiplicarli tra loro.
beh, non sempre, in questo caso ti va bene perchè la parte non olomorfa è già scritta come una serie di Laurent.
Ad esempio, con
$ \dfrac{1}{z\sin(z+2)} $
non puoi fare la stessa cosa.
In generale puoi calcolare i coefficienti della serie di Laurent come
$ a_n=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz $
quindi, per n=-k con k positivo
$ a_{-k}=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma f(x)(z-c)^{k-1}dz $
dove gamma è un cerchio attorno a z=-2 che contiene solo quella singolarità.
Ad esempio, con
$ \dfrac{1}{z\sin(z+2)} $
non puoi fare la stessa cosa.
In generale puoi calcolare i coefficienti della serie di Laurent come
$ a_n=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}dz $
quindi, per n=-k con k positivo
$ a_{-k}=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma f(x)(z-c)^{k-1}dz $
dove gamma è un cerchio attorno a z=-2 che contiene solo quella singolarità.
Hai ragione, in ogni caso quell'integrale solitamente lo si fa con la II forumula integrale di Cauchy , il che porta subito alla formula di Taylor.
Se cosi è , nel tuo ultimo esempio si dovrebbe sviluppare in serie di taylor il termine non olomorfo e moltiplicarlo per 1/z.
Ma come si puo' sviluppare in serie di taylor , centrato in -2, di 1/sin(z+2) se non è ivi continua?
Sapresti consigliarmi un buon libro di esercizi su funzioni a variabile complessa?
Se cosi è , nel tuo ultimo esempio si dovrebbe sviluppare in serie di taylor il termine non olomorfo e moltiplicarlo per 1/z.
Ma come si puo' sviluppare in serie di taylor , centrato in -2, di 1/sin(z+2) se non è ivi continua?
Sapresti consigliarmi un buon libro di esercizi su funzioni a variabile complessa?
mmm ma come fare a sviluppare è il mio problema, la funzione del tuo esempio non è olomorfa in -2 e l'integrale per calcolare i termini an della serie io l'ho sempre risolto con la II formula di cauchy: il che mi porta a cercare lo sviluppo in serie di taylor di una funzione , in un punto in cui essa non è definita 
Dov'è che sto sbagliando
?
Dov'è che sto sbagliando
?