massimo d = MCD(n^2+n-6, n^2+5n)

[antosecret]

Chi mi aiuta a risolvere questo esercizio?

Sia n intero. Trovare il massimo valore di:
$ d = MCD(n^2+n+6, n^2+5n) $

Grazie...

[angus89]

dai ti dò l'incipit (la tecnica è stata usata anche da un'altro utente sempre in tdn)

osservato che
$ \displaystyle n^{2}+n+6 $

non è scomponibile in R
e
$ \displaystyle n^{2}+5n $
ha come uniche radici $ \displaystyle 0 $ e $ \displaystyle -5 $
si abbandona subito l'idea della scomposizione...
A questo punto se ne abbraccia un'altra

poniamo $ \displaystyle d=MCD(n^{2}+n+6,n^{2}+5n) $

$ \displaystyle \\ d|n^{2}+n+6 \\ d|n^{2}+5n $

allora necessariamente $ \diplaystyle d $diveide la differenza

$ \displaystyle \\ d|6-4n \\ d|2(3-2n) $
Pertanto sarà sicuramente
$ \displaystyle MCD(n^{2}+n+6,n^{2}+5n)=2 \cdot qualcosa... $
Continua te...

[antosecret]

Ops.... Ho sbagliato a postare....
l'esercizio diceva di trovare il massimo di
$ d = MCD(n^2+n-6,n^2+5) $
Con la sostanziale differenza che $ n^2+n-6 = (n-2)(n+3) $

cmq provo lo stesso a risolvere questo...

$ MCD(n^2+n+6,n^2+5n) = MCD(n^2+5n, 4n-6)= 2\cdotMCD(2n^2+10n,2n-3) $
Che credo sia la risposta al tuo 2*qualcosa....
Questo perchè se ho MCD(x,2y), posso moltiplicare x per un fattore 2 e quindi contare un fattore 2 fuori dal mcd:
$ MCD(x,2y) = 2\cdot MCD(2x,y) $. Giusto????
allora possiamo dire:

$ 2\cdot MCD(2n-3,2n^2+10n)= $
$ = 2\cdot MCD(2n-3,2n^2+10n-2n^2+3n) = 2\cdot (2n-3,13n)= $
$ = 26\cdot(13(2n-3),n)= 26\cdot(26n-39,n)= $
$ = 26 \cdot(n,-39)= 1014(39n,1)= 1014 $


in realtà non sono molto sicuro del metodo che ho applicato... anzi diciamo per niente...
Ammesso che sia giusto, per quale n d=1014... Ho trovato (un pò a caso...)per n=99 d = 78... Ma manca un fattore 39

[edit:] ho corretto un pò il latex. Se ci sono altri errori fatemi sapere

[angus89]

ti spiacerebbe correggere gli errori di latex?
lo farei anche io ma adesso ho poco tempo...
suggerimento...per la moltiplicazione invece di

Codice: Seleziona tutto

*

usa l'istruzione

Codice: Seleziona tutto

\cdot

[Agi_90]

Ops.... Ho sbagliato a postare....
l'esercizio diceva di trovare il massimo di
$ d = MCD(n^2+n-6,n^2+5) $
Con la sostanziale differenza che $ n^2+n-6 = (n-2)(n+3) $

cmq provo lo stesso a risolvere questo...

$ MCD(n^2+n+6,n^2+5n) = MCD(n^2+5n, 4n-6)= 2*MCD(2n^2+10n,2n-3) $
Che credo sia la risposta al tuo 2*qualcosa....
Questo perchè se ho MCD(x,2y), posso moltiplicare x per un fattore 2 e quindi contare un fattore 2 fuori dal mcd:
MCD(x,2y) = 2MCD(2x,y). Giusto????
allora possiamo dire:

$ 2*MCD(2n-3,2n^2+10n)= $
$ = 2*MCD(2n-3,2n^2+10n-2n^2+3n) = 2*(2n-3,13n)= $
$ =26*(13(2n-3),n)= 26*(26n-39,n)=26*(n,-39)= 1014(39n,1)= 1014 $


in realtà non sono molto sicuro del metodo che ho applicato... anzi diciamo per niente...
Ammesso che sia giusto, per quale n d=1014... Ho trovato (un pò a caso...)per n=99 d = 78... Ma manca un fattore 39

Guarda io ho risolto così:

$ d | n^2+n-6 $(1)
$ d | n^2+5 $
ma quindi d divide anche la differenza
$ d | n-11 $
d divide anche il quadrato di quest'ultimo
$ d | n^2-22n+121 $
d divide anche la differenza tra questo e la (1)
$ d | -23n+127 $
ora a questo sottraiamo -23 volte n-11
$ d | 126 $

quindi il massimo teorico è 126, se poniamo $ n -11 = 126 $ vediamo (con qualche conticino ) che soddisfa le ipotesi, quindi ok 126 è il massimo.

[antosecret]

[edit] ho postato 2 volte lo stesso messaggio. scusate.[\edit]

[antosecret]

x agi90: anche io ho risolto il primo problema in modo simile al tuo:
(sottointendo MCD davanti alle parentesi)

$ \displaystile (n^2+n-6,n^2+5)=(n^2+5, n-11)= $
$ =(n-11, 11n+5)=(n-11, 126) $

Ora, questo mcd è massimo quando n-11 = 126 poichè (x,x)=x

Per quanto riguarda questo metodo sono abbastanza certo:
infatti è noto che $ MCD(a,b) = MCD(a,b+ka) $
----------------

Per quanto riguarda invece l'altro problema:
$ MCD(n^2+n+6,n^2+5n) $
non sono per niente convinto... sto ancora cercando di capire se posso sicrivere
$ MCD(a,kb) = k\cdot MCD(ka,b) $....[/quote]
x angus89: Qual'è il metodo di risoluzione per scomposizione a cui ti riferivi????