definiamo la seguente successione: $ a_0 = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} $ e $ \displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n^2 - 5}{2(a_n+2)} $
trovare una formula chiusa per $ a_n $
successione per ricorrenza
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Poiché non vi sono soluzioni posto la mia (non so quanto valida).
Poniamo:
(0) $ \displaystyle a_n=\tan u_n-2 $
e quindi la ricorrenza diventa:
$ \displaystyle \tan u_{n+1}=2+\frac{\tan^2u_n-4\tan u_n-1}{2\tan u_n}=\frac{\tan^2 u_n-1}{2\tan u_n}=-\cot 2 u_n $
Pertanto si ha la relazione lineare seguente
(1) $ \displaystyle u_{n+1}-2u_n=\frac{\pi}{2}+k\pi $ con k in Z
L'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata è:
$ \displaystyle \lambda^{n+1}-2\lambda^n=0 $ da cui $ \displaystyle \lambda=2 $
e quindi la soluzione sarà del tipo :
$ \displaystyle u_n=A \cdot2^n+B $ con A e B costanti da determinare.
Ora sostituendo in (1) risulta:
$ \displaystyle A\cdot 2^{n+1}+B-2\cdot A \cdot2^n-2B=\frac{\pi}{2}+k\pi $ da cui $ \displaystyle B=-\frac{\pi}{2}-k\pi $ e dunque:
$ \displaystyle u_n=A\cdot2^n-\frac{\pi}{2}-k\pi $
Sostituendo in (0):
$ \displaystyle a_n=\tan(A\cdot2^n-\frac{\pi}{2})-2 $
Per n=0 si ha:
$ \displaystyle 2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6=\tan(A-\frac{\pi}{2}) $ ovvero $ \displaystyle A=\frac{\pi}{2}+\frac{11\pi}{24}=\frac{23\pi}{24} $
In definitiva avremo:
$ \displaystyle a_n=\tan(\frac{23\pi}{3}\cdot2^{n-3}-\frac{\pi}{2})-2 $
karl
Poniamo:
(0) $ \displaystyle a_n=\tan u_n-2 $
e quindi la ricorrenza diventa:
$ \displaystyle \tan u_{n+1}=2+\frac{\tan^2u_n-4\tan u_n-1}{2\tan u_n}=\frac{\tan^2 u_n-1}{2\tan u_n}=-\cot 2 u_n $
Pertanto si ha la relazione lineare seguente
(1) $ \displaystyle u_{n+1}-2u_n=\frac{\pi}{2}+k\pi $ con k in Z
L'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata è:
$ \displaystyle \lambda^{n+1}-2\lambda^n=0 $ da cui $ \displaystyle \lambda=2 $
e quindi la soluzione sarà del tipo :
$ \displaystyle u_n=A \cdot2^n+B $ con A e B costanti da determinare.
Ora sostituendo in (1) risulta:
$ \displaystyle A\cdot 2^{n+1}+B-2\cdot A \cdot2^n-2B=\frac{\pi}{2}+k\pi $ da cui $ \displaystyle B=-\frac{\pi}{2}-k\pi $ e dunque:
$ \displaystyle u_n=A\cdot2^n-\frac{\pi}{2}-k\pi $
Sostituendo in (0):
$ \displaystyle a_n=\tan(A\cdot2^n-\frac{\pi}{2})-2 $
Per n=0 si ha:
$ \displaystyle 2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6=\tan(A-\frac{\pi}{2}) $ ovvero $ \displaystyle A=\frac{\pi}{2}+\frac{11\pi}{24}=\frac{23\pi}{24} $
In definitiva avremo:
$ \displaystyle a_n=\tan(\frac{23\pi}{3}\cdot2^{n-3}-\frac{\pi}{2})-2 $
karl
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si il risultato è giosto, l'idea era proprio la trigonometria 
la mia è simile:
tutti sanno che $ \displaystyle \cot {\frac{\pi}{24}} = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} = a_0 + 2 $
ora la formula di ricorsione ricorda la duplicazione della cotangente, sostituiamo $ b_n = a_n +2 $
e viene fuori $ \displaystyle b_{n+1} = \frac{b_n^2-1}{2b_n} $
a questo punto induttivamente $ b_k = \cot{c_k} $ con $ \displaystyle c_k = \frac{2^{k-3}\pi}{3} $ e abbiamo
per $ k=0 $ funziona come detto prima poi abbiamo
$ \displaystyle b_{k+1} = \frac{\cot^2{c_k}-1}{2\cot{c_k}} = \cot{2c_k} = \cot{c_{k+1}} $
Quindi la formula è $ \displaystyle a_n = \cot{\left ( \frac{2^{n-3} \pi}{3} \right ) } - 2 $
la mia è simile:
tutti sanno che $ \displaystyle \cot {\frac{\pi}{24}} = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} = a_0 + 2 $
ora la formula di ricorsione ricorda la duplicazione della cotangente, sostituiamo $ b_n = a_n +2 $
e viene fuori $ \displaystyle b_{n+1} = \frac{b_n^2-1}{2b_n} $
a questo punto induttivamente $ b_k = \cot{c_k} $ con $ \displaystyle c_k = \frac{2^{k-3}\pi}{3} $ e abbiamo
per $ k=0 $ funziona come detto prima poi abbiamo
$ \displaystyle b_{k+1} = \frac{\cot^2{c_k}-1}{2\cot{c_k}} = \cot{2c_k} = \cot{c_{k+1}} $
Quindi la formula è $ \displaystyle a_n = \cot{\left ( \frac{2^{n-3} \pi}{3} \right ) } - 2 $