4° problema semifinale 2007

[Stex19]

Questa è algebra... - EG

oggi stavo provando a fare qualche esercizio della gara a squadre dell'anno scorso...
questo non lo riesco a fare, anche se dovrebbe essere semplice....

4. La forza di una rana
Superato miracolosamente il compito di storia, Numeruto deve affrontare ora quello di arti magiche teoriche!
La domanda più difficile chiede quale sia il massimo livello di forza vitale che un mateninja del segno della rana possa sviluppare. Numeruto è proprio del segno della rana ed è sicuro che la sua forza vitale
dipende dalla sua concentrazione $ \alpha $ secondo la funzione:
$ 252cos{\alpha}+275sin{\alpha}+298 $.
Qual è la massima forza vitale che Numeruto può sviluppare?

come me li calcono il seno e i coseno senza calcolatrice???

[julio14]

a parte la sezione, a quello ci penseranno i mod...

Cmq c'è un piccolo errore nel testo, anche se non cambia il risultato: il primo + è un -.
Soluzione brutta con il metodo dell'angolo aggiunto, temo unica:
prima di tutto, lascio stare il 298, e guardo il resto. Ho $ 252\cos\alpha-275\sin\alpha $, moltiplico tutto per $ $1=\frac{\sqrt{252^2+275^2}}{\sqrt{252^2+275^2}} $
$ $\left(\frac{252}{\sqrt{252^2+275^2}}\cos\alpha-\frac{275}{\sqrt{252^2+275^2}}\sin\alpha\right)\cdot \sqrt{252^2+275^2} $
I quadrati di $ $\frac{252}{\sqrt{252^2+275^2}} $ e $ $\frac{275}{\sqrt{252^2+275^2}} $ hanno somma 1, quindi posso considerarli seno e coseno di un generico angolo $ \beta $.

$ $\left(\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha\right)\cdot \sqrt{252^2+275^2} $$ \rightarrow\sin(\beta-\alpha)\cdot \sqrt{252^2+275^2} $

quindi al massimo può essere $ \sqrt{252^2+275^2} $ che con un bel po di calcolucci, non impossibili (ok, la radice di 139129 non è facilissima, ma sapendo che basta la parte intera del risultato, un po' di tentativi e ce la si fa, e ti viene anche un bell'intero: cosa vuoi di più dalla vita!), si rivela essere 373, sommato ai 298 iniziali viene 671.

[teppic]

Stessa dimostrazione, ma da un'ottica leggermente diversa

$ 252\cos\alpha-275\sin\alpha $ è il prodotto scalare dei due vettori $ (252,275) $ e $ (\cos\alpha, -\sin\alpha) $, che è massimo se sono paralleli e concordi, cosa che certamente si ottiene per qualche $ ~\alpha~ $.

Quando il prodotto scalare è massimo, è uguale al prodotto dei moduli, che sono

$ \sqrt{252^2+275^2} $ e $ ~1~ $.

Il resto come dici tu sono conti... (io amo le terne pitagoriche irriconoscibili!! )

[gianmaria]

Vorrei fare una piccola aggiunta, visto che anch'io amo le terne pitagoriche. Il divieto di usare la calcolatrice e il tipo di gara fanno presumere che il risultato della radice sia intero; vale la pena di partire da questa ipotesi, salvo abbandonarla se si rivela scorretta. La teoria dei numeri pitagorici dice che se tre numeri interi positivi x, y, z sono a due a due primi fra loro e legati dalla relazione $ x^2+y^2=z^2 $ , x e y devono essere uno pari e uno dispari; detto y quello pari si ha
$ x=u^2-v^2 $
$ y=2uv $
$ z=u^2+v^2 $
essendo u, v due interi primi fra loro e di parità opposta.
Nel nostro casi è y = 252, quindi uv = 126 = 2*7*9; il 9 non può essere ripartito fra u, v perché non sarebbero primi fra loro. Affinché $ u^2-v^2 $ sia un po’ più di 200, dobbiamo prendere u=18 e v=7 e si ha $ u^2-v^2 $ = 324-49 = 275. L’ipotesi iniziale risulta confermata, quindi z = 324+49 = 373.
Naturalmente z poteva non essere intero, rendendo necessario il calcolo della radice; suggerirei però di farlo non per tentativi ma con l’apposito algoritmo. Se non lo conoscete potete chiederlo al vostro insegnante o in questo forum (direi in “teoria di base”); alla disperata, mandatemi un messaggio privato e vi risponderò, anche se è più facile applicarlo che spiegarlo per lettera.