Somma intera di frazioni

[Goldrake]

Provare che l'espressione

$ \frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15} $

assume valori interi per ogni n

[Carlein]

Da Fermat abbiamo $ n^5 \equiv n \pmod{15} $ ; quindi abbiamo: $ 3n+5n^3+7n \equiv 0 \pmod {15} $ ovvero $ n(10+ 5n^2) \equiv 0 \pmod {15} $ ovvero $ 5(2+n^2) \equiv 0 \pmod {15} $ ovvero $ 2+n^2 \equiv 0 \pmod 3 $ che è vero perchè avevamo sottinteso (n,3)=1 sennò si aveva semplicemente $ 3n^5 + 7n \equiv 0 \pmod 5 $ ovvero $ 3n^4+2 \equiv 0 \pmod 5 $ ovvero $ 3+2 \equiv 0 \pmod 5 $
Edit: era un pò tardi ieri sera cmq sì l'ho messa senza rifletterci troppo...sorry

[jordan]

questo esercizio è stato gia postato varie volte e anche recentemente

e comunque:
$ 3n^5+5n^3+7n=3(n^5+2n^3+2n)-n(n-1)(n+1)= $$ 5(n^5+2n^4+3n^3-2n^2-n)-2(n-1)(n)(n+1)(n+2)(n+3) $

[Goldrake]

questo esercizio è stato gia postato varie volte e anche recentemente
e comunque:
$ 3n^5+5n^3+7n=3(n^5+2n^3+2n)-n(n-1)(n+1)= $$ 5(n^5+2n^4+3n^3-2n^2-n)-2(n-1)(n)(n+1)(n+2)(n+3) $

Ciao
non avevo mai fatto caso che già fosse presente.
Comunque, non è che mi diresti il ragionamento usato per scovare l'ultima identità ?
$ 3(n^5+2n^3+2n)-n(n-1)(n+1)= $$ 5(n^5+2n^4+3n^3-2n^2-n)-2(n-1)(n)(n+1)(n+2)(n+3) $

Carlein, io penso che la prima precisazione
$ (n,15)=1 $
non occorra. Prendi anche n=3

Ciao!

[jordan]

non che ci voglia molto, devi solo pensare che $ \forall (a,b,k) \in Z^3: MCD(a,b)=MCD(a,b+ka) $. k è un intero, quindi puo benissimo essere un qualunque polinomio $ p(x) \in Z[x] $ (a coefficienti interi). praticamente, puoi aggiungere e togliere quello che vuoi, a patto che tutto sia multiplo di quello che vuoi dimostrare (è la frase piu orribile che abbia mai detto! )
in detto caso, vuoi dimostrare che è multilplo di 5, secondo te perchè ha grado 5?