Si determinino gli interi positivi k tali che il polinomio
$ \displaystyle P(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+kx^{2}+x+1 $
Sia prodotto di polinomi a coefficienti interi di grado minore di cinque
Valori per un polinomio divisibile in N-{0}
Valori per un polinomio divisibile in N-{0}
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Considero due casi: tra i fattori c'è un binomio di primo grado, o sono due polinomi non scomponibili di 2 e 3.
1 caso:
il binomio è x+1 o x-1, per ruffini vedo che la radice 1 dà k negativo mentre -1 dà k=1. Quindi abbiamo per k=1 P(x)=(x+1)(qualcosa che non mi importa).
2. caso:
abbiamo $ (x^3+ax^2+bx\pm 1)(x^2+cx\pm 1) $
altri 2 casi: termini noti =+/-1.
2a)+1: perchè i coefficienti dei termini di primo e terzo grado di P(x) siano =1 devono essere ab+c+1=1 e a+c=1, sostituisco c=1-a
$ $a(b-1)=-1\rightarrow a=\frac{1}{1-b}\rightarrow b=0\rightarrow a=1\rightarrow c=0 $
quindi ancora due calcoli e trovo di nuovo k=1.
2b)-1: sempre stessa storia, ab+c-1=1 e -a-c=1-->c=-a-1
$ $a(b-1)=3\rightarrow a=\frac{3}{b-1}\rightarrow b=2\vee b=4 $
da cui ricavo delle k negative, senza scrivere qua troppi conti.
Ah tra l'altro ho dimenticato di dire che potevo dividere per (b-1) in entrambi i casi perchè b=1 dava comunque un assurdo.
1 caso:
il binomio è x+1 o x-1, per ruffini vedo che la radice 1 dà k negativo mentre -1 dà k=1. Quindi abbiamo per k=1 P(x)=(x+1)(qualcosa che non mi importa).
2. caso:
abbiamo $ (x^3+ax^2+bx\pm 1)(x^2+cx\pm 1) $
altri 2 casi: termini noti =+/-1.
2a)+1: perchè i coefficienti dei termini di primo e terzo grado di P(x) siano =1 devono essere ab+c+1=1 e a+c=1, sostituisco c=1-a
$ $a(b-1)=-1\rightarrow a=\frac{1}{1-b}\rightarrow b=0\rightarrow a=1\rightarrow c=0 $
quindi ancora due calcoli e trovo di nuovo k=1.
2b)-1: sempre stessa storia, ab+c-1=1 e -a-c=1-->c=-a-1
$ $a(b-1)=3\rightarrow a=\frac{3}{b-1}\rightarrow b=2\vee b=4 $
da cui ricavo delle k negative, senza scrivere qua troppi conti.
Ah tra l'altro ho dimenticato di dire che potevo dividere per (b-1) in entrambi i casi perchè b=1 dava comunque un assurdo.
