Rr \leq(ab+bc+ca)/18

[g(n)]

Dimostrare che per un triangolo di lati $ a,b,c $ e con raggi della circonferenza inscritta e circoscritta rispettivamente $ r $ed $ R $ vale

$ \displaystyle Rr\leq\frac{ab+bc+ca}{18} $

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

$ \displaystyle Rr = \frac{abc}{4p} \le \frac{ab+bc+ca}{18} \Longleftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc $

vero per AM-GM

[g(n)]

Ok Gabriel

Vista l'ora della risposta la prossima volta mi dovrò ricordare di mettere la solita clausola..

[karl]

Aggiungo una mia proposta ( facilina ...credo).Dimostrare che è:
$ \displaystyle \frac{1}{2}\sum_{cyclic}(a+b) \cos C \le \sum_{cyclic}\frac{a^2}{b+c} $
karl

[g(n)]

$ \displaystyle\sum_{cyc} a\frac a {b+c} \geq \frac 13 (a+b+c)\left(\frac a {b+c}+\frac b {c+a}+ \frac c{a+b}\right) $$ \displaystyle\geq \frac 12 (a+b+c)=\frac 12 \sum_{cyc}(a+b)\cos C $

dove la prima disuguaglianza è Chebycheff e la seconda Nesbitt

[g(n)]

Aggiungo anche un'altra dimostrazione della disuguaglianza che ho postato all'inizio

Per il teorema dei seni si ottiene
$ 2R(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)=a+b+c=2p $

e poichè $ S=pr $ si ricava

$ (\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)=\frac S {Rr} $

Inoltre, per Chebycheff si ha:

$ (\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)(ab+bc+ca)\geq 3(ab\sin\gamma+bc\sin\alpha+ca\sin\beta) $$ =18S $

e sostituendo si ottiene la tesi