Minimizzare 4x^2 + 9y^2
Minimizzare 4x^2 + 9y^2
Minimizzare $ $4x^2 + 9y^2 $ sotto le condizioni $ $x, y > 0 $ e$ $ xy^2 = 1 $ .
Appassionatamente BTA 197!
rispondo piu che altro perche la settimana prossima ho l'esame di matematica finanziaria sull'ottimizzazione vincolata e altra roba..
sia la lagrangiana $ L=4x^2+9y^2-\lambda(xy^2-1) $.
allora per le condizioni di primo ordine sulle derivate parziali:
i)$ xy^2=1 $
ii)$ 18y=\lambda x $
iii)$ 8x=\lambda y^2 $.
mettendo a confronto la ii) e la iii) rispetto a $ \lambda $ e ricavando x dalla i otteniamo che l'unica ternasoluzione del sistema è $ (x,y,\lambda)=(\sqrt[7]{\frac{81}{16}},\sqrt[7]{\frac{4}{9}}, 6\sqrt[7]{\frac{3}{2}}) $.
verifichiamo che questa è proprio la terna di minimo con le condizioni di secondo ordine :la matrice H hessiana 3X3 deve avere la catena dei segni delle matrici NW (che nel nostro caso coincide con la matrice stessa) di segno + per massimo locale e - per minimo locale vincolato.
8 2yt y^2
H= -t 18 -x
y^2 2xy 0 dove t=$ \lambda $
sostituendo si deve verificare che |H|<0 e si ha la tesi.
Soluzione 2: porre $ x=\frac{a}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{3}b $ e applicare QM-GM
sia la lagrangiana $ L=4x^2+9y^2-\lambda(xy^2-1) $.
allora per le condizioni di primo ordine sulle derivate parziali:
i)$ xy^2=1 $
ii)$ 18y=\lambda x $
iii)$ 8x=\lambda y^2 $.
mettendo a confronto la ii) e la iii) rispetto a $ \lambda $ e ricavando x dalla i otteniamo che l'unica ternasoluzione del sistema è $ (x,y,\lambda)=(\sqrt[7]{\frac{81}{16}},\sqrt[7]{\frac{4}{9}}, 6\sqrt[7]{\frac{3}{2}}) $.
verifichiamo che questa è proprio la terna di minimo con le condizioni di secondo ordine :la matrice H hessiana 3X3 deve avere la catena dei segni delle matrici NW (che nel nostro caso coincide con la matrice stessa) di segno + per massimo locale e - per minimo locale vincolato.
8 2yt y^2
H= -t 18 -x
y^2 2xy 0 dove t=$ \lambda $
sostituendo si deve verificare che |H|<0 e si ha la tesi.
Soluzione 2: porre $ x=\frac{a}{2}, y=\frac{\sqrt{2}}{3}b $ e applicare QM-GM
The only goal of science is the honor of the human spirit.
C'è un errore di derivazione nella (ii).
Suggerisco anche un procedimento... semialgebrico.
Introdotta nel piano (xy) l'affinità x'=2x,y'=3y ,il nostro procedimento si riduce
a trovare il minimo di $ \displaystyle z=x'^2+y'^2 $ con la condizione $ \displaystyle x'=\frac{18}{y'^2} $
La prima equazione rappresenta ovviamente un fascio di circonferenze concentriche, di centro l'origine degli assi, e raggio crescente con z.L'altra una sorta di iperbole asintotica agli assi.E' chiaro che il minimo di z si riduce a trovare i punti comuni alla generica circonferenza del fascio e alla pseudo-iperbole che hanno da O distanza minima e ciò avviene (vedi figura) quando tali curve sono tangenti.Eliminando ora y'^2 si ha l'equazione:
(1) $ \displaystyle x'^3-zx'+18=0 $
Per la tangenza questa equazione deve avere una radice almeno doppia o ciò che è lo stesso deve avere qualche radice in comune con la derivata rispetto ad x:
$ \displaystyle 3x'^2-z=0 $
Eliminando $ \displaystyle z=3x'^2 $ e sostituendo nella (1) si ha :
$ \displaystyle x'=\sqrt[3]{9} $
Pertanto il minimo richiesto è :
$ \displaystyle z=3\sqrt[3]{81}=9\sqrt[3]{3} $
Ritornando alle coordinate (x,y) ,con facili calcoli si trova che tale minimo vienne assunto nel punto $ \displaystyle P(\sqrt[3]{\frac{9}{8}},\sqrt[6]{\frac{8}{9}}) $
karl
Suggerisco anche un procedimento... semialgebrico.
Introdotta nel piano (xy) l'affinità x'=2x,y'=3y ,il nostro procedimento si riduce
a trovare il minimo di $ \displaystyle z=x'^2+y'^2 $ con la condizione $ \displaystyle x'=\frac{18}{y'^2} $
La prima equazione rappresenta ovviamente un fascio di circonferenze concentriche, di centro l'origine degli assi, e raggio crescente con z.L'altra una sorta di iperbole asintotica agli assi.E' chiaro che il minimo di z si riduce a trovare i punti comuni alla generica circonferenza del fascio e alla pseudo-iperbole che hanno da O distanza minima e ciò avviene (vedi figura) quando tali curve sono tangenti.Eliminando ora y'^2 si ha l'equazione:
(1) $ \displaystyle x'^3-zx'+18=0 $
Per la tangenza questa equazione deve avere una radice almeno doppia o ciò che è lo stesso deve avere qualche radice in comune con la derivata rispetto ad x:
$ \displaystyle 3x'^2-z=0 $
Eliminando $ \displaystyle z=3x'^2 $ e sostituendo nella (1) si ha :
$ \displaystyle x'=\sqrt[3]{9} $
Pertanto il minimo richiesto è :
$ \displaystyle z=3\sqrt[3]{81}=9\sqrt[3]{3} $
Ritornando alle coordinate (x,y) ,con facili calcoli si trova che tale minimo vienne assunto nel punto $ \displaystyle P(\sqrt[3]{\frac{9}{8}},\sqrt[6]{\frac{8}{9}}) $
karl
Mi spiegate se c'è un errore in questa cosa?
Dalla $ x^2y=1 $ ricavo y, lo metto nell'altra e ottengo di minimizzare la funzione:
$ 4x^2 + 9/x $
Con x positivo. Per x che tende a zero o infinito quella funzione tende a infinito, perciò il minimo sarà per qualche valore in mezzo. Più precisamente, derivando la funzione e ponendola uguale a zero si trova come unico valore estremante $ x=(9/8)^{1/3} $ che deve quindi corrispondere al minimo.
Dalla $ x^2y=1 $ ricavo y, lo metto nell'altra e ottengo di minimizzare la funzione:
$ 4x^2 + 9/x $
Con x positivo. Per x che tende a zero o infinito quella funzione tende a infinito, perciò il minimo sarà per qualche valore in mezzo. Più precisamente, derivando la funzione e ponendola uguale a zero si trova come unico valore estremante $ x=(9/8)^{1/3} $ che deve quindi corrispondere al minimo.
Piccola precisazione, era da $ xy^2=1 $, errore comunue involontario visto che poi è sostituito bene..Pigkappa ha scritto:Dalla $ x^2y=1 $ ricavo y
fare solo il limite a zero e infinito non significa che la fal minimo, potrebbe benissimo crescere indefinitamente. in alternativa o fai semplici considerazioni sulla funzione derivata osservando il suo segno (come credo che in realtà tu abbia fatto)oppure ti calcoli il valore della derivata seconda nello stesso punto, e vedi se la funzione è convessa..Pigkappa ha scritto:$ 4x^2 + 9/x $
Con x positivo. Per x che tende a zero o infinito quella funzione tende a infinito, perciò il minimo sarà per qualche valore in mezzo. Più precisamente, derivando la funzione e ponendola uguale a zero si trova come unico valore estremante $ x=(9/8)^{1/3} $ che deve quindi corrispondere al minimo.
ad ogni modo, se arrivi a $ 4x^2+\frac{9}{2x}+\frac{9}{2x} $ perchè mai non applicare am-gm?
[ps karl ha ragione nel mio post precedente ci andava $ 18y=2\lambda xy $ nella ii)..l'idea comunque è quella]
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Non riesco a capire questa frase...jordan ha scritto:fare solo il limite a zero e infinito non significa che la fal minimo, potrebbe benissimo crescere indefinitamente.
Io intendevo che la funzione tende a + infinito per x che tende agli estremi dell'intervallo aperto in cui la considero, mentre assume valori finiti al suo interno (dove è dappertutto derivabile e continua), perciò il minimo deve essere all'interno e deve essere un punto in cui si annulla la derivata.
mm, se aggiungi che ha valori interni finiti, che è derivabile e continua(e non ammette quindi altre discontinuità) allora credo proprio che funzioni..
praticamente cosi dimostri che ammette almeno un minimo, e studiando la derivata trovi un solo estremante che coincide proprio con il punto cercato giusto?
(premetto che non sono nè voglio sembrare un esperto di analisi
)
praticamente cosi dimostri che ammette almeno un minimo, e studiando la derivata trovi un solo estremante che coincide proprio con il punto cercato giusto?
(premetto che non sono nè voglio sembrare un esperto di analisi
)The only goal of science is the honor of the human spirit.
Sicuramente ne sapete più voi di me di analisi, visto che so solo quello che abbiamo fatto a scuola (neanche tutto, visto che non sto a sentire) e non me la sono mai studiata sistematicamente da solo. Però questo mi sembrava il metodo più normale, e mi sembrava parecchio più semplice delle cose che avete fatto voi...jordan ha scritto:mm, se aggiungi che ha valori interni finiti, che è derivabile e continua(e non ammette quindi altre discontinuità) allora credo proprio che funzioni..
praticamente cosi dimostri che ammette almeno un minimo, e studiando la derivata trovi un solo estremante che coincide proprio con il punto cercato giusto?
(premetto che non sono nè voglio sembrare un esperto di analisi
Che al suo interno era derivabile, continua, finita eccetera l'avevo dato per scontato, a dire il vero.
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darkcrystal
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- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
Premetto che anche io sono ben lontano dall'essere un esperto di analisi, ma penso si possa anche fare così (fermo restando che la soluzione più semplice è una bella AM-GM pesata...): partendo dalla funzione di Pig, valutiamo f(1)=13 e concludiamo che il minimo è minore o uguale a 13; verifichiamo che se $ x < \frac{1}{100} $ (per dire) si ha $ f(x) =4x^2+9/x > \frac{9}{x} > 900 > 13 $, quindi per $ x < \frac{1}{100} $ non si può avere minimo; similmente, per $ x > 10 $ si ha $ f(x)=4x^2+9/x > 4x^2 > 400 > 13 $ e non si ha minimo; per il teorema di Weierstrass applicato a quella funzione e all'intervallo chiuso $ \left[ \frac{1}{100}, 10 \right] $ sappiamo che in questo intervallo essa ha minimo e massimo, che possono stare (visto che è derivabile) solo agli estremi dell'intervallo o nei punti di annullamento della derivata prima; verificando che i valori agli estremi sono spropositatamente grossi, si conclude.
Rivolgo comunque una preghiera generica a qualche dio o moderatore di passaggio perchè mi straccioni se sto dicendo cose più o meno false!
Ciau!
Rivolgo comunque una preghiera generica a qualche dio o moderatore di passaggio perchè mi straccioni se sto dicendo cose più o meno false!
Ciau!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
Membro dell'EATO
no no calmi ... allora ...
Cosa vera
Sia $ f:(a,b)\to\mathbb{R} $ una funzione continua e derivabile su (a,b); si supponga inoltre che $ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to b}f(x)=+\infty} $. Allora f ammette un minimo assoluto su (a,b) ed esso si trova in un punto y che soddisfa $ f'(y)=0 $.
Perché? beh, la seconda parte è il ben noto fatto che minimi e massimi di una funzione derivabile corrispondono a zeri della derivata (ma non sempre viceversa ... esistono i flessi!).
La prima parte, beh, per poca voglia vi dirò che vi può sembrare ovvio da un disegno e ve lo lascio da dimostrare, ma fatelo in MNE, se proprio dovete.
Nel nostro caso, se f'(x)=0 ha una sola soluzione su (a,b), evidentemente quello deve essere il minimo di f.
dunque, buona per pigk.
Cosa vera
Sia $ f:(a,b)\to\mathbb{R} $ una funzione continua e derivabile su (a,b); si supponga inoltre che $ \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to b}f(x)=+\infty} $. Allora f ammette un minimo assoluto su (a,b) ed esso si trova in un punto y che soddisfa $ f'(y)=0 $.
Perché? beh, la seconda parte è il ben noto fatto che minimi e massimi di una funzione derivabile corrispondono a zeri della derivata (ma non sempre viceversa ... esistono i flessi!).
La prima parte, beh, per poca voglia vi dirò che vi può sembrare ovvio da un disegno e ve lo lascio da dimostrare, ma fatelo in MNE, se proprio dovete.
Nel nostro caso, se f'(x)=0 ha una sola soluzione su (a,b), evidentemente quello deve essere il minimo di f.
dunque, buona per pigk.